Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Признаки делимости (с доказательством). > Признак делимости на 3.

Признак делимости на 3.

      Назад Оглавление Вперед

Утверждение: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Доказательство:

Докажем прямое утверждение.

Рассмотрим любое (натуральное) число . Представим его в виде суммы:

Заметим, что любая степень числа 10 также может быть представленная в виде суммы:

Продолжим операции с числом :


Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые

Получили, что число можно представить в виде:

,

где
,

т.е. и будет равно сумме цифр исходного числа.

Первое слагаемое, , очевидно, делится на 3. Если второе слагаемое, , делится на 3, то и все сумма, т.е. число будет делиться на 3.

Докажем обратное утверждение.

Число делится на 3, значит, сумма его цифр будет делиться на 3.


Выше было показано представление числа в виде:
, где — сумма цифр числа . Перенесем слагаемые:

.

Т.к. по условию делится на 3, то равенство можно записать в виде:

.

Получили, что делится на 3, т.е. сумма цифр делится на 3.

Утверждение доказано.

Пример: Число 95463 делится на 3 потому, что 9+5+4+6+3=27, а 27 делится на 3.


Понравилась статья?


      Назад Оглавление Вперед

Оставить комментарий

Вы должны Войти чтобы оставить комментарий.