Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Линейная алгебра и аналитическая геометрия > Скалярное произведение векторов. > Скалярное произведение через координаты, вычисление угла между векторами.

Скалярное произведение через координаты, вычисление угла между векторами.

      Назад Оглавление Вперед

Итак, на предыдущей странице перечислены свойства, которыми обладает скалярное произведение. С помощью них можно доказать и вывести еще одну формулу для вычисления скалярного произведения и формулу для вычисления угла между векторами, координаты которых известны.

Формула для вычисления скалярного произведения векторов через их координаты.

Утверждение (Формула для вычисления скалярного произведения векторов): Для векторов, заданных своими координатами:
и
справедлива формула:

.

Произносится: Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Доказательство:
Запишем каждый вектор в виде разложения по базисным векторам:

Запишем скалярное произведение:

Используем свойство 7) :

Используем свойство 6):

Напомним, что — базисные вектора декартовой системы координат, т.е. они попарно перпендикулярны, значит, по свойству 2): .
В итоге получим:

Последний шаг: по третьему свойству, зная, что :
.

Замечание:
Для векторов на плоскости (двумерных) справедлива аналогичная формула, т.е. без последнего слагаемого:
и : .



Формула для вычисления угла между векторами.


Замечание: Не столько угла, сколько косинуса угла.
Итак, на данный момент, для вычисления скалярного произведения есть:
а) определение:
,

б) выведенная чуть ранее формула:
.

Выразим косинус угла между векторами из первого равенства:


Произносится: косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин векторов.

А вычислить скалярное произведение можно про второй формуле. В результате получится вот такая формула (её и следует запомнить и применять для вычисления угла):

.

На следующей странице рассмотрим примеры решения задач с использование свойств и полученных формул.

      Назад Оглавление Вперед