Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Подготовка к ЕГЭ-ГИА (элементарная математика) > Решение алгебраических уравнений, содержащих модули.

Решение алгебраических уравнений, содержащих модули.

Вперед

Оглавление.

1. Определения и простейшие задачи на вычисление модулей.
2. Уравнения вида .
3. Уравнения вида (первый способ).
4. Уравнения вида (второй способ).
5. Построение графика модуля функции.
6. Решение уравнений с модулем графическим методом.
7. Решение неравенства с модулем графическим методом.

Определения и простейшие задачи на вычисление модулей.

Одним из простейших типов алгебраических уравнений являются уравнения, содержащие модуль. Дадим определение этого математического объекта.

Определение 1 (основное): Модулем числа называется величина, вычисляемая по правилу:


Определение 2: Модулем числа называется абсолютное значение этого числа.
Определение 3 (геометрическое): Модуль числа равен расстоянию на числовой прямой от точки с координатой до нуля.
Пример:
1) Вычислить .
По аналогии с определением, написанным чуть выше,


,

значит, для того, чтобы раскрыть модуль, нужно пойти по первой строчке определения:


2) Вычислить .
По аналогии с определением:

,

значит, для того, чтобы раскрыть модуль, нужно пойти по второй строчке определения:

Пример: Отметить на числовой прямой все значение х, такие, что .
По геометрическому определению, это число, отстоящее от нуля на 2 единицы, т.е. и . Получим, что .


Замечание: — такие числа, которые от числа удалены на единиц.
Пример: Отметить на числовой прямой все значение х, такие, что .
Замечание: По аналогии с предыдущим примером: — такие числа, которые от числа удалены менее, чем на единиц.

В этом случае: — такие числа, которые от числа 5 удалены менее, чем на 3 единицы.


Все эти значения можно записать в виде неравенства:

Пример: Отметить на числовой прямой все значение х, такие, что .
Замечание: По аналогии с предыдущим примером: — такие числа, которые от числа удалены не менее, чем на единиц.

В этом случае: — такие числа, которые от числа 5 удалены не менее, чем на 3 единицы.

Все эти значения можно записать в виде объединения неравенств:

Вывод:
1) Модуль всегда равен положительному числу.
2) Если под знаком модуля положительное число, то знак модуля просто снимается.
3) Если под знаком модуля отрицательное число, то у него меняется знак на противоположный, и оно становится положительным.

Пример:
1) Снять знак модуля:
Определим знак подмодульного выражения.
Предположим, что оно положительное:


Обе части неравенства одного знака, значит, его можно возвести в квадрат. Они положительны, значит, знак неравенства не изменится.

Неравенство верное, значит, и предположение о знаке выражения верное, т.е.
.

Подмодульное выражение положительно, знак модуля можно просто снять.
.

Пример:
Упростить выражение .
Здесь нужно помнить две вещи:
а) , мы же все-таки про модули тут разговаривает.
б) , формула сокращенного умножения квадрат разности.
Рассмотрим подкоренное выражение и представим его в виде полного квадрата


Замечание: полного квадрата, это просто равенство легко доказывается простым раскрытием скобок.
Замечание: Здесь намеренно выбран порядок слагаемых вида для того, чтобы первый пункт не пропал даром.
Итак, подставим полученное выражение в исходное

И вот он, первый пункт….

Раскроем модуль по основному определению. Определим знак подмодульного выражения. В этом случае это легко, т.к. интуитивно понятно, что и , а, значит, . Вернемся к выражению

Итог:


Понравилась статья?


Вперед