Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Теория вероятностей и математическая статистика, эконометрика > Задача 10. Выполнить статистическую обработку данных.

Задача 10. Выполнить статистическую обработку данных.

Проведено 100 независимых измерений значений непрерывной случайной величины X. Результаты измерений оформлены в виде статистической совокупности

-7 -12 6 -9 -4 17 1 -3 -9 -3
3 -5 9 15 -2 20 14 11 1 11
-1 -4 14 6 8 -5 -19 -3 -4 5
-1 -21 4 3 13 18 -8 11 -12 -15
6 6 14 -5 -3 1 -13 -2 15 -8
9 19 6 2 -18 9 12 2 14 2
12 7 10 1 -5 2 4 -13 -12 -15
17 -4 -8 14 16 1 28 2 -1 8
1 -5 7 -9 -5 -17 17 0 7 9
-8 -3 4 -11 -4 3 -8 -21 4 6

Выполнить статистическую обработку этих данных.
Для этого необходимо:
1) записать вариационный ряд (первая строка – варианты, вторая – соответствующие им частоты);
2) записать статистический закон распределения случайной величины X.
3) найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X.
4) построить гистограмму относительных частот;
5) при уровне значимости проверить по критерию согласия Пирсона нулевую гипотезу о том, что случайная величина X имеет нормальное распределение;
6) если нулевая гипотеза о нормальном распределении случайной величины X принимается, то построить кривую нормального распределения на одном рисунке с гистограммой относительных частот.

Решение:

1. Вариационный ряд

-21 -19 -18 -17 -15 -13 -12 -11 -9 -8 -7 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
2 1 1 1 2 2 3 1 3 5 1 6 5 5 2 3 1 6 5

 

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 28
2 1 1 1 2 2 3 1 3 5 1 6 5 5 2 3 1 6 5

5.1.2. Статистический закон распределения

Длина частичного интервала h рассчитана по формуле

Интервалы Относительные частоты
[-24,3; -17,7) 0,04
[-17,7; -11,1) 0,08
[-11,1; -4,5) 0,16
[-4,5; 2,1) 0,27
[2,1; 8,7) 0,19
[8,7; 5,3) 0,18
[15,3; 21,9) 0,07
[21,9; 8,5) 0,01

Несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X.

Выборочная средняя находиться по формуле:
, за значение случайной величины будем принимать середину интервала.

[-24,3; -17,7) 4 0,04 -21 -84
[-17,7; -11,1) 8 0,08 -14,4 -115
[-11,1; -4,5) 16 0,16 -7,8 -125
[-4,5; 2,1) 27 0,27 -1,2 -32,4
[2,1; 8,7) 19 0,19 5,4 102,6
[8,7; 5,3) 18 0,18 12 216
[15,3; 21,9) 7 0,07 18,6 130,2
[21,9; 8,5) 1 0,01 25,2 25,2
    Сумма 117,6



[-24,3; -17,7) 4 0,04 -21 -84 491,8 1967
[-17,7; -11,1) 8 0,08 -14,4 -115 242,6 1941
[-11,1; -4,5) 16 0,16 -7,8 -125 80,57 1289
[-4,5; 2,1) 27 0,27 -1,2 -32,4 5,645 152,4
[2,1; 8,7) 19 0,19 5,4 102,6 17,84 339
[8,7; 5,3) 18 0,18 12 216 117,2 2109
[15,3; 21,9) 7 0,07 18,6 130,2 303,6 2125
[21,9; 8,5) 1 0,01 25,2 25,2 577,2 577,2
    Сумма 117,6   10500


Несмещенной оценкой дисперсии случайной величины является исправленная выборочная дисперсия

исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение случайной величины

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины.
С помощью критерия проверим гипотезу о том, что случайная величина X
имеет нормальный закон распределения с параметрами:

при уровне значимости .
Разобьем ось x на конечное число интервалов так, чтобы в каждый интервал попало не менее 5 наблюденных значений случайной величины X. Тогда, используя статистический закон распределения и объединяя два первых и два последних интервала, получаем:

[ ;-11,1) 12
[-11,1; 4,5) 16
[-4,5; 2,1) 27
[2,1; 8,7) 19
[8,7; 15,3) 18
[15,3; ) 8

Вычисляем вероятности попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами


в частичный интервал по формуле

ЭВМ вычисляет значения (в пакете Exel)

И ЭВМ выдает запрашиваемые значения функции Лапласа

И вычисляем вероятности

Приведем расчетные таблицы:

-11,1 -12,276 -1,192
-11,1 -4,5 -12,276 -5,676 -1,192 -0,551
-4,5 2,1 -5,676 0,924 -0,551 0,090
2,1 8,7 0,924 7,524 0,090 0,731
8,7 15,3 7,524 14,124 0,731 1,371
15,3 14,124 1,371

 

-1,192 -0,5000 -0,3834 0,1166 11,66
-1,192 -0,551 -0,3834 -0,2092 0,1741 17,41
-0,551 0,090 -0,2092 0,0357 0,2450 24,50
0,090 0,731 0,0357 0,2675 0,2317 23,17
0,731 1,371 0,2675 0,4149 0,1474 14,74
1,371 0,4149 0,5000 0,0851 8,51
    1 100

 

12 11,66 0,34 0,11 0,010
16 17,41 -1,41 2,00 0,115
27 24,50 2,50 6,26 0,256
19 23,17 -4,17 17,42 0,752
18 14,74 3,26 10,63 0,721
8 8,51 -0,51 0,26 0,031
100     1,885

по таблице критических точек распределения , по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k=s—3 = 6—3 = 3 (s—число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области
.

Так как — гипотеза о нормальном распределении с параметрами
и принимается.
Кривая распределения нормального закона распределения с
параметрами и построена на одном чертеже с гистограммой относительных частот.