Провести полное исследование функции и построить её график

Проведем исследование функции

1) Область определения : знаменатель не должен обращаться в ноль, подкоренное выражение должно быть неотрицательным

Область определения:

2) область значений на данном этапе исследования установить затруднительно.

3) четность, нечетнось, периодичность.

Проверим функцию на четность:

Функция является четной, значит ее график симметричен относительно оси ОY.

Проверим на периодичность: , где T не равно нулю и не зависит от х.
Т.к. функция неопределенна лишь на одном интервале, то она не является периодичной.

4) Точки пересечения с осями координат:

а) пересечение о ОХ

б) пересечение о ОY

— в этой точке функция неопределена.

Итого, график пересекает оси в точках с координатами .

4) Интервалы знакопостоянства.

а)

— функция принимает положительные значения

б)

— функция отрицательна

2) максимумы/минимумы, промежутки убывания/возрастания функции
Точки, подозрительные на экстремум:

— точка подозрительная на экстремум, но не входит в ОДЗ.

Возрастание:

— с учетом ОДЗ.

Убывание:

— с учетом ОДЗ.

5. Точки перегиба, промежутки выпуклости вверх/вниз.

— уравнение не имеет решения на ОДЗ, Вторая производная всюду отрицательна, т.е. функция выпукла вверх

6. Асимптоты:
А) вертикальные

Равенство верно при , т.е. — вертикальные асимптоты
Б) наклонные

Наклонные асимптоты соответственно на плюс и минус бесконечности соответственно.

7. Построим график: