Наши Партнеры:

 


Задача 13.

Используя данные, приведенные в таблице:
1) Построить линейное уравнение множественной регрессии;
2) Оценить значимость параметров данного уравнения построить доверительные интервалы для каждого из параметров, оценить значимость уравнения в целом, пояснить экономический смысл полученных результатов;
3) Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной детерминации, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними;
4) Вычислить прогнозное значение при уменьшении вектора на от максимального уровня, оценить ошибку прогноза и построить доверительный интервал прогноза

Номер наблюдения, i y x1 x2
1 1,4 9,8 12,6
2 0,4 19,5 12,2
3 0,8 6,8 3,2
4 1,8 27,0 13,0
5 0,9 12,4 6,9
6 1,1 17,7 15,0
7 1,9 12,7 11,9
8 0,9 21,4 1,6
9 1,3 13,5 8,6
10 2,0 13,4 11,5
11 0,4 2,0 1,4
12 0,6 4,2 1,9

1) Предполагается, что объясняемая переменная зависит от двух факторов и , поэтому уравнение регрессии будем искать в виде

,

где — параметры модели. Переходя к матричному описанию задачи, обозначим
, ,

при этом необходимо найти матрицу параметров модели

по формуле .

Найдем матрицу

Найдем

Найдем произведение матриц

Найдем матрицу параметров модели

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

2) Оценим значимость параметров данного уравнения и построим доверительные интервалы для каждого из параметров, оценим значимость уравнения в целом, поясним экономический смысл полученных результатов.

Используя начальные данные и полученное уравнение, заполним следующую таблицу:


1 1,4 1,367406 0,001062
2 0,4 1,400196 1,000393
3 0,8 0,771365 0,00082
4 1,8 1,493792 0,093763
5 0,9 1,032126 0,017457
6 1,1 1,561801 0,213261
7 1,9 1,341502 0,31192
8 0,9 0,759326 0,019789
9 1,3 1,14322 0,02458
10 2,0 1,321036 0,460992
11 0,4 0,632225 0,053929
12 0,6 0,676003 0,005777
13,5 13,5 2,203742

Остаточная дисперсия определяется выражением


а дисперсии параметров уравнения регрессии равны


.

Доверительный интервал для параметра найдем по формуле

Коэффициент Стьюдента , следовательно

Аналогично получим


Для оценки значимости параметров уравнения регрессии сравним с наблюдаемыми критериями



Анализ показывает, что при надежности все коэффициенты незначимы.

Оценим общее качество уравнения регрессии. Используя начальные данные и полученное уравнение, заполним следующую таблицу:


1 1,4 1,367406 0,075625 0,058761
2 0,4 1,400196 0,525625 0,075733
3 0,8 0,771365 0,105625 0,125058
4 1,8 1,493792 0,455625 0,136008
5 0,9 1,032126 0,050625 0,008626
6 1,1 1,561801 0,000625 0,190795
7 1,9 1,341502 0,600625 0,046873
8 0,9 0,759326 0,050625 0,133717
9 1,3 1,14322 0,030625 0,000332
10 2,0 1,321036 0,765625 0,03843
11 0,4 0,632225 0,525625 0,242827
12 0,6 0,676003 0,275625 0,201598
Сумма 13,5 13,5 3,4625 1,258758

Найдем индекс корреляции

,

при этом скорректированный коэффициент детерминации равен

Проверим значимость уравнения регрессии, при этом должно выполняться неравенство

Наблюдаемый критерий равен

,

а , следовательно, уравнение регрессии незначимо при .

3) Рассчитаем линейные коэффициенты частной корреляции и сравним их с линейными коэффициентами парной корреляции



Рассмотрев межфакторный коэффициент корреляции можно сказать, что явная линейная связь между факторами и слабая и возможно введение их как двух отдельных факторов в модель. Парные коэффициенты с каждым из факторов и показывают наличие положительной линейной связи, при связь с первым фактором очень слабая, а со вторым — сильнее.

Частные коэффициенты корреляции найдем по формулам


Их значения показывают, что при отсутствии влияния других факторов, связь с рассматриваемым фактором увеличивается.

4. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют от их максимального значения.

Для этого в полученное равнение регрессии подставим ; :

Доверительный интервал найдем по формуле

,

где

, , т.о. доверительный интервал прогноза имеет вид

Построенная линейная модель выявила положительную зависимость объясняемой переменной Y от объясняющих факторов.