Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Теория вероятностей и математическая статистика, эконометрика > Решения нескольких задач по теории вероятностей из сборника Чудесенко.

Решения нескольких задач по теории вероятностей из сборника Чудесенко.

1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что
а) сумма числа очков не превосходит числа 15;
б) произведение числа очков не превосходит числа 15;
в) произведение числа очков делится на 15.
Решение:
Будем решать эту задачу с помощью классического определения вероятности.
, где
n- количество всевозможных исходов.
m- количество благоприятных исходов.
Распишем всевозможные исходы эксперимента. Например (2,4) будет означать, что на первой кости выпала 2, а на второй 4.

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,5) (5,6) (6,6)

Всего – 36 вариантов, т.е. n=36.
А) сумма числа очков не превосходит числа 15. Вообще то сумма на двух костях может быть максимум равна 12, т.е. подходят все пары, т.е. m=36.

б) произведение числа очков не превосходит числа 15. Подходят пары :

(1,1)* (2,1)* (3,1)* (4,1)* (5,1)* (6,1)*
(1,2)* (2,2)* (3,2)* (4,2)* (5,2)* (6,2)*
(1,3)* (2,3)* (3,3)* (4,3)* (5,3) (6,3)
(1,4)* (2,4)* (3,4)* (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5)* (2,5)* (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6)* (2,6)* (3,6) (4,5) (5,6) (6,6)

Т.е. 23 пары. m = 23.

в) произведение числа очков делится на 15. Т.е. это, например, числа 15,30,45, и т.д.
Пары, произведение в которых равно этим цифрам это :

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)* (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5)* (4,5) (5,5) (6,5)*
(1,6) (2,6) (3,6) (4,5) (5,6)* (6,6)

Т.е., в данном случае m=4

Ответ: а) 1 б) 23/36 в) 1/9
2. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий каждого сорта равно, соответственно, 2,5,2,3. Для контроля наудачу берутся 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них 1 первосортная деталь, 3 – второго сорта, 1 – третьего, 2 – четвертого сорта.
Решение:
,
где — количество способов, которыми из всех 12 деталей можно выбрать любые 7.
— это количество способов, которыми из 2 деталей первого сорта можно выбрать 1, из 5 деталей второго сорта выбрать 3, и т.д.
.
Ответ: .
3. Среди 8 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 3 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.
Решение:
,
где -количество способов выбора из всех 8-ми билетов любых 3-х.
— количество способов выбора из 4-х выигрышных любых 2-х и из 4-х невыигрышных оставшегося 1-го.

Ответ: .
4. В лифт 10-ти этажного дома сели 6 пассажиров. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что:
а) все вышли на разных этажах;
б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
Решение:
.
n- количество способов, которыми все люди могут выйти на любых этажах.
, т.к. каждый из 6-ти человек может выйти на любом из 9-ти имеющихся в доме этажей, т.к. на первом они не выходят.
А) все вышли на разных этажах.
m-количество способов выходя людей так, чтобы ни на одном этаже не вышли 2 человека.
, т.к., допустим, первый человек может выйти на любом из девяти этажей, у второго выбор уже на 1 этаж меньше, т.е. 8 вариантов, т.к. на одном этаже первый уже вышел, у третьего пассажира осталось для выхода всего 7 этажей и т.д.
.
Б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
Событие «по крайней мере, двое сошли на одном этаже» противоположно событию «все сошли на разных этажах». Воспользуемся формулой вероятности противоположного события


Ответ: , .
5. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину ¼.
Решение: Задача решается с помощью формулы геометрической вероятности.

— вся длина, на которую может попасть точка.
-длина отрезка, попадание на который выгодно, т.е. необходимо, чтобы расстояние от точки до концов отрезка было не меньше ¼.


Ответ: 0,5.
15. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 50% изделий, второй завод – 20%, третий завод – 30%. Среди изделий 1-го завода 90% первосортных, среди изделий 2-го – 80%, 3-го – 90%. Куплено одно изделие, оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что изделие выпущено 3-м заводом.
Решение:
Воспользуемся формулой Байеса.

Перечислим гипотезы:
— деталь поступила с первого завода,
— деталь поступила с первого завода,
— деталь поступила с первого завода, .
Найдем условные вероятности:
— вероятность того, что деталь, доставленная с первого завода, первосортная.
— вероятность того, что деталь со второго завода, первосортная.
— вероятность того, что деталь с третьего завода, первосортная.
Подставим:

Ответ: .
21. Дана плотность распределения случайно величины . Найти параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .
.
Решение:
1) Для нахождения параметра воспользуемся свойством плотности распределения:


Плотность распределения принимает вид:
.
2) Найдем по формуле

3) Найдем по формуле

4) Найдем функцию распределения случайной величины .
Воспользуемся формулой .
А) Пусть , ,

б) Пусть , ,

в) Пусть , ,

Итак, функция распределения имеет вид:

г) Найдем вероятность выполнения неравенства .
Воспользуемся формулой
.
22. Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид . Найти параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .
Решение:
1) Для нахождения параметра воспользуемся свойством плотности распределения:


Плотность распределения принимает вид:

— Нормальное распределение с параметрами ,

4) Найдем функцию распределения случайной величины .
Воспользуемся формулой .

г) Найдем вероятность выполнения неравенства .
Воспользуемся формулой

23. По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию , математическое ожидание , дисперсию случайной величины .
Решение:
Дан закон Пуассона: .
Найдем характеристическую функцию.
Воспользуемся формулой
.
.
, . (т.к. дан именно закон Пуассона, а про него известно, что числовые характеристики равны а, в данном варианте a = 0,26.)

36. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией . По выборке объема вычислено выборочное среднее . Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения , отвечающий заданной доверительной вероятности .
Решение:
Воспользуемся формулой:
, где

— табличные данные.
Подставляем в неравенство.

Ответ: