Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Теория вероятностей и математическая статистика, эконометрика > Решения задач по математической статистике 1.

Решения задач по математической статистике 1.

15. Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем продаж товаров, не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течение месяца регистрировал продажи соды и представил результаты в виде дискретного вариационного ряда

xi 1 2 3 4 5 6 7
mi 2 3 12 5 5 2 1

Требуется:
а) построить полигон относительных частот ;
Вычислим относительные частоты:

xi 1 2 3 4 5 6 7
mi 2 3 12 5 5 2 1
0,07 0,10 0,40 0,17 0,17 0,07 0,03

б) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D(x) и среднее выборочное квадратичное отклонение σ(x).
Вычислим выборочное среднее по формуле

Найдем выборочную дисперсию по формуле:

Среднее выборочное квадратичное отклонение σ(x).

16. При изучении структуры коммерческих банков по объявленному уставному фонду из трех тысяч банков страны было отобрано по схеме собственно случайной бесповторной выборки сто. Данные о распределении банков по этому признаку представлены в таблице:

Размер уставного фонда xmin До 40 40 80 120 160 Свыше 200 Итого
xmax 80 120 160 200
Число банков ni 7 9 18 34 22 10 100

Найти:
а) вероятность того, что средний размер уставного фонда всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рублей (по абсолютной величине);
Найдем выборочную среднюю и исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение. За значение признака на интервале примем его середину.

Min Max
40 20 7 140 400 2800
40 80 60 9 540 3600 32400
80 120 100 18 1800 10000 180000
120 160 140 34 4760 19600 666400
160 200 180 22 3960 32400 712800
200 220 10 2200 48400 484000
  100 13400   2078400


Найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней для бесповторной выборки

Найдем вероятность по формуле:

б) границы, в которых с вероятностью 0,9 заключена доля всех банков, размер уставного фонда которых не менее 160 миллионов рублей;

N=3000, n=100, m=32.
Выборочная доля всех банков, размер уставного фонда, который не менее шестидесяти миллионов
Найдем среднюю квадратичную ошибку бесповторной выборки для доли:

Учитывая, что , то t=1,65. Найдем предельную ошибку выборки для доли: .
Теперь искомый доверительный интервал определяем как:

Вывод: С вероятностью 0,9, доля всех банков, размер уставного капитала которых не менее 160 миллионов рублей, заключена от 0,25 до 0,39

в) объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей см. пункт а)), можно гарантировать с вероятностью 0,95.

В качестве неизвестного значения для определения объема выборки берем его состоятельную оценку . Учитывая, что и по таблице t = 1,96.
Объем бесповторной выборки:

Ответ: объем выборки должен быть 383 единицы.
17. Необходимо:
а) выдвинуть гипотезу о виде модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, обосновав выбор;
Выдвинем гипотезу о том, что эмпирическое распределение аппроксимирует нормальное распределение. Основание – диаграмма напоминает колокол, т.е. нормальную кривую.
б) используя χ2 — критерий Пирсона, при уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – размер уставного фонда распределена по нормальному закону.
Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

1 40 7
2 40 80 9
3 80 120 18
4 120 160 34
5 160 200 22
6 200 10
    100

Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты среднее арифметическое концов интервала:

20 7 140 90972
60 9 540 49284
100 18 1800 20808
140 34 4760 1224
180 22 3960 46552
220 10 2200 73960
13400 282800
134 2828
  53,18

2. Найдем интервалы , левый край первого примем равным , а правый последнего :

0 40 -94,000 -1,768
40 80 -94,000 -54,000 -1,768 -1,015
80 120 -54,000 -14,000 -1,015 -0,263
120 160 -14,000 26,000 -0,263 0,489
160 200 26,000 66,000 0,489 1,241
200 240 66,000 1,241

3. Найдем теоретические вероятности и теоретические частоты . Для этого составим расчетную таблицу

-1,768 -0,500 -0,461 0,039 3,856
-1,768 -1,015 -0,461 -0,345 0,116 11,639
-1,015 -0,263 -0,345 -0,104 0,241 24,123
-0,263 0,489 -0,104 0,188 0,291 29,137
0,489 1,241 0,188 0,393 0,205 20,517
1,241 0,393 0,500 0,107 10,729
    1 100

4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерии Пирсона:
а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу .

7,00 3,86 3,14 9,88 2,56
9,00 11,64 -2,64 6,96 0,60
18,00 24,12 -6,12 37,49 1,55
34,00 29,14 4,86 23,64 0,81
22,00 20,52 1,48 2,20 0,11
10,00 10,73 -0,73 0,53 0,05
    5,68

б) по таблице критических точек распределения , по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k=s—3 = 6—3 = 3 (s—число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области
.
Так как — нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности
Гипотеза согласуется.

18. В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: = 1800, s = 230. В предположении о нормальном законе:
а) найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800;

Для того, чтобы найти долю семей, умножим полученную вероятность на 100.
Т.е. 49,5 семей из 100.
Ответ: 49,5 из 100.

б) выяснить при уровне значимости α=0,05 можно ли считать 1900 руб. нормативом среднедушевого дохода (проверить гипотезу H0: а= 1900 против конкурирующей гипотезы Н1: а≠ 1900;
Найдем наблюдаемое значение критерия:

Критическая область двусторонняя, найдем критическую точку из равенства:

Т.к. — нулевая гипотеза отвергается, нельзя считать 1900 нормативом.

в) построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а и дисперсии σ2 (принять γ = 0,95).
Найдем доверительный интервал для математического ожидания:

Найдем доверительный интервал для дисперсии:
(табличное значение)