15. Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем продаж товаров, не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течение месяца регистрировал продажи соды и представил результаты в виде дискретного вариационного ряда

Требуется:
а) построить полигон относительных частот ;
Вычислим относительные частоты:

xi	1	2	3	4	5	6	7
mi	2	3	12	5	5	2	1
	0,07	0,10	0,40	0,17	0,17	0,07	0,03

б) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D(x) и среднее выборочное квадратичное отклонение σ(x).
Вычислим выборочное среднее по формуле

Найдем выборочную дисперсию по формуле:

Среднее выборочное квадратичное отклонение σ(x).

16. При изучении структуры коммерческих банков по объявленному уставному фонду из трех тысяч банков страны было отобрано по схеме собственно случайной бесповторной выборки сто. Данные о распределении банков по этому признаку представлены в таблице:

Найти:
а) вероятность того, что средний размер уставного фонда всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рублей (по абсолютной величине);
Найдем выборочную среднюю и исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение. За значение признака на интервале примем его середину.

Min	Max
—	40	20	7	140	400	2800
40	80	60	9	540	3600	32400
80	120	100	18	1800	10000	180000
120	160	140	34	4760	19600	666400
160	200	180	22	3960	32400	712800
200	—	220	10	2200	48400	484000
			100	13400		2078400

Найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней для бесповторной выборки

Найдем вероятность по формуле:

б) границы, в которых с вероятностью 0,9 заключена доля всех банков, размер уставного фонда которых не менее 160 миллионов рублей;

N=3000, n=100, m=32.
Выборочная доля всех банков, размер уставного фонда, который не менее шестидесяти миллионов
Найдем среднюю квадратичную ошибку бесповторной выборки для доли:

Учитывая, что , то t=1,65. Найдем предельную ошибку выборки для доли: .
Теперь искомый доверительный интервал определяем как:

Вывод: С вероятностью 0,9, доля всех банков, размер уставного капитала которых не менее 160 миллионов рублей, заключена от 0,25 до 0,39

в) объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей см. пункт а)), можно гарантировать с вероятностью 0,95.

В качестве неизвестного значения для определения объема выборки берем его состоятельную оценку . Учитывая, что и по таблице t = 1,96.
Объем бесповторной выборки:

Ответ: объем выборки должен быть 383 единицы.
17. Необходимо:
а) выдвинуть гипотезу о виде модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, обосновав выбор;
Выдвинем гипотезу о том, что эмпирическое распределение аппроксимирует нормальное распределение. Основание – диаграмма напоминает колокол, т.е. нормальную кривую.
б) используя χ² — критерий Пирсона, при уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – размер уставного фонда распределена по нормальному закону.
Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

1	—	40	7
2	40	80	9
3	80	120	18
4	120	160	34
5	160	200	22
6	200	—	10
			100

Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты среднее арифметическое концов интервала:

20	7	140	90972
60	9	540	49284
100	18	1800	20808
140	34	4760	1224
180	22	3960	46552
220	10	2200	73960
		13400	282800
		134	2828
			53,18

2. Найдем интервалы , левый край первого примем равным , а правый последнего :

0	40	—	-94,000		-1,768
40	80	-94,000	-54,000	-1,768	-1,015
80	120	-54,000	-14,000	-1,015	-0,263
120	160	-14,000	26,000	-0,263	0,489
160	200	26,000	66,000	0,489	1,241
200	240	66,000	—	1,241

3. Найдем теоретические вероятности и теоретические частоты . Для этого составим расчетную таблицу

	-1,768	-0,500	-0,461	0,039	3,856
-1,768	-1,015	-0,461	-0,345	0,116	11,639
-1,015	-0,263	-0,345	-0,104	0,241	24,123
-0,263	0,489	-0,104	0,188	0,291	29,137
0,489	1,241	0,188	0,393	0,205	20,517
1,241		0,393	0,500	0,107	10,729
				1	100

4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерии Пирсона:
а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу .

7,00	3,86	3,14	9,88	2,56
9,00	11,64	-2,64	6,96	0,60
18,00	24,12	-6,12	37,49	1,55
34,00	29,14	4,86	23,64	0,81
22,00	20,52	1,48	2,20	0,11
10,00	10,73	-0,73	0,53	0,05
				5,68

б) по таблице критических точек распределения , по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k=s—3 = 6—3 = 3 (s—число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области
.
Так как — нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности
Гипотеза согласуется.

18. В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: = 1800, s = 230. В предположении о нормальном законе:
а) найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800;

Для того, чтобы найти долю семей, умножим полученную вероятность на 100.
Т.е. 49,5 семей из 100.
Ответ: 49,5 из 100.

б) выяснить при уровне значимости α=0,05 можно ли считать 1900 руб. нормативом среднедушевого дохода (проверить гипотезу H0: а= 1900 против конкурирующей гипотезы Н1: а≠ 1900;
Найдем наблюдаемое значение критерия:

Критическая область двусторонняя, найдем критическую точку из равенства:

Т.к. — нулевая гипотеза отвергается, нельзя считать 1900 нормативом.

в) построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а и дисперсии σ² (принять γ = 0,95).
Найдем доверительный интервал для математического ожидания:

Найдем доверительный интервал для дисперсии:
(табличное значение)