Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Математический анализ. > Экстремум функции нескольких переменных.

Экстремум функции нескольких переменных.

Вперед

Оглавление.

1. Экстремум функции двух переменных.
2. Локальный экстремум функции двух переменных.
3. Случай функции нескольких переменных ().

Задача: Исследовать на экстремум функцию двух переменных .


Необходимое условие экстремума.


Как и в случае с функцией одной переменной, где необходимым условием экстремума функции является равенство нулю первой производной. Соответственно, в случае функции нескольких переменных, требуется равенство нулю частных производных по обеим переменных.
Точка , являющаяся решением системы:

называется стационарной точкой функции .

Стационарные точки — это точки, подозрительные на экстремум.
Другими словами, в этих точках функция может достигать экстремума, а может и не достигать.


Достаточное условие экстремума.


Для того, чтобы определить, достигает ли функция экстремума в стационарной точке введем обозначения:

Тогда, если:
— в точке функция имеет максимум.
— в точке функция имеет минимум.
— в точке функция не имеет экстремума.
— экстремум может быть, а может и не быть, для решения вопроса о существовании экстремума в точке требуется применить дополнительные исследования.
Пример:
Задача № 2016 из сборника: Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов, под ред. Б.П. Демидовича

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных


Решение:
Найдем точку, подозрительную на экстремум



Точка, подозрительная на экстремум
Найдем вторые производные

При

Попался случай — в точке функция имеет максимум.

Ответ:
Вперед