Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Математический анализ. > Экстремум функции нескольких переменных. > Условный экстремум функции двух переменных.

Условный экстремум функции двух переменных.

      Назад Оглавление Вперед

Что такое экстремум понятно, это собирательный термин для минимума и максимума, а условным он называется тогда, когда переменные связаны некоторым условием, дополнительным уравнением связи.
Например:
Найти условный экстремум функции , причем должно выполняться ( Демидович для ВТУЗов, задача № 2023)
Решение:
Для того, чтобы найти условный экстремум функции при условии составим функцию Лагранжа вида:
, где — неопределенный множитель. После чего ищем обычный экстремум это вспомогательной.



Функция Лагранжа для рассматриваемого предела имеет вид:

1) Необходимые условия:

Определили точку, подозрительную на экстремум.
2) Достаточные условия.
Для того, чтобы понять, существует ли в этой точке экстремум и какой именно, надо исследовать знак второго дифференциала функции, т.е.
Если он положителен, то это минимум, отрицателен – максимум.
Знак определяется при значениях , определенных в первом пункте. Причем, связанны дифференциалом условия:

Для решаемой задачи:

Здесь он положителен, значит, при функция имеет минимум . Это был ответ.
Замечание: В этом примере второй дифференциал явно положителен, мы даже не использовали дифференциал условия. Предположим, что мы получили ( при той же критической точке и условии
( Выражение взято с потолка)
Здесь, согласитесь, не очевиден знак второго дифференциала, поэтому будем использовать условие:

Подставим во второй дифференциал:

И знак становится очевиден.

      Назад Оглавление Вперед