2. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду

Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его.

Это квадратное уравнение относительно .
— это уравнение параболического типа.

Сделаем замену переменных. Первую возьмем из общего интеграла характеристического уравнения:
, а для замены второй переменной выберем функцию так, чтобы они с были линейно независимы. Например: .
Проверим линейную независимость замены:
— все хорошо.
Итак, замена:
Сделаем замену частных производных.
Подготовительный момент:

Теперь поставляем в замены:

Подставим в исходное уравнение:

Это каноническое уравнение параболического типа, где .
Решим его.
Проинтегрируем обе части равенства по :

Получили ОДУ, общий вид решения которого (при считаемой за константу):

Проверить это можно дифференцированием по и подстановкой в равенство .
Делаем обратную замену и получаем ответ: