Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Численные методы. > Аппроксимация методом наименьших квадратов

Аппроксимация методом наименьших квадратов

Задача: Провести аппроксимацию функции , заданной своими значениями, по методу наименьших квадратов с помощью параболы.


x 0 1 2 3 4 5
-100 -90 -76 -52 -12 50

Решение: Т.к. в условии требуется аппроксимировать при помощи параболы, то аппроксимирующий многочлен будем искать в виде:
,
а, т.к. требуется его строить по методу наименьших квадратов, то его коэффициенты вычисляются из системы:


Составим расчётную таблицу:






i x y
1 0 -100 0 0 0 0 0
2 1 -90 1 1 1 -90 -90
3 2 -76 4 8 16 -152 -304
4 3 -52 9 27 81 -156 -468
5 4 -12 16 64 256 -48 -192
6 5 50 25 125 625 250 1250
Сумма: 15 -280 55 225 979 -196 196

Подставим полученные значения в систему:


Решать ее можно любым методом, например методом Крамера, тогда:

И

Аппроксимирующая функция примет вид:
Аналитика: Известно, что исходная функция имеет вид . Построим график этой функции и аппроксимирующей в одной системе координат для того, чтобы визуально оценить степень приближенности.

Замечание: как вы понимаете, парабола – зеленая.