Назад Оглавление Вперед
1. Вынесение функции из-под знака дифференциала.

Пример:

2. Внесение функции под знак дифференциала.
, где , т.е. является первообразной .
Пример:

[ Найдем первообразную функции ]

Итог:
3. Множитель-константу можно выносить за знак дифференциала и вносить под него (частный случай первого и второго правил).

Пример:
.
4. Под знаком дифференциала можно прибавлять или отнимать любую константу (частный случай второго правила).

Пример:

Следующие два правила не относятся к математическим формулам, однако их несоблюдение является одной из самых частых ошибок начинающих.

Одинаковое должно быть одинаковым.

Если в табличной формуле некоторые её части обозначены одинаковыми символами, то и в выражении, к которому будет применена эта формула, соответствующие части должны быть одинаковые.

Пример:

Для нахождения этого интеграла необходимо применить второй табличный интеграл , однако, в его записи знаменатель и переменная интегрирования одинаковы, а в исследуемом интеграле нет. Воспользуемся четвертым правилом, описанным выше: прибавим единицу под знаком дифференциала.

Здесь, для большей наглядности, можно сделать замену
.

Правило равновесия.

Если возникает необходимость домножить какую-либо часть выражения на константу, то тут же необходимо выполнить обратное действие, т.е. деление, на ту же константу.

Пример:

Здесь необходимо воспользоваться третьим табличным интегралом
,
но, по предыдущему правилу, в знаменателе первое слагаемое должно быть равно переменной дифференцирования, возведенной в квадрат. Проведем соответствующие преобразования: домножим под знаком дифференциала на 3 и поделим интеграл на 3. Т.к. уже сказано, что множитель-константу можно выносить как за знак дифференциала, так и за знак интеграла, а также можно вносить его обратно, то не принципиально где выполнить обратное действие. В данном случае удобнее уравновешивающий коэффициент поставить перед интегралом.

Сделаем замену . Воспользуемся табличной формулой, а потом и обратную замену.
. Это и есть ответ.

Примеры применения основных правил интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл:

[ Для того, чтобы применить табличный интеграл №2, то есть получить натуральный логарифм, необходимо, чтобы переменная интегрирования и знаменатель были одинаковыми. Воспользуемся третьим правилом: ]

[ Воспользуемся четвертым правилом и прибавим под знаком дифференциала 3 : ]
[ Сделаем замену ] [ Воспользуемся табличным интегралом №2] [Сделаем обратную замену]
Ответ: .
Пример 2. Вычислить интеграл:

[ На первый взгляд непонятно к какому табличному интегралу стремиться, потому что ни в одной из формул нет ситуации, что в числителе стоит первая степень, а в знаменателе вторая. Применим второе правило: внесем под знак дифференциала. Найдем для этого первообразную для : . То есть: ]

[ По третьему правилу домножим и поделим соответствующие части интеграла на 4]
[ по четвертому правилу]
[ сделаем замену и воспользуемся табличным интегралом №2]

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:
Задание 1. Вычислить неопределенный интеграл:

+ Показать/спрятать подсказку №1.

+ Показать/спрятать подсказку №2.

+ Показать/спрятать подсказку №3.

+ Показать/спрятать Решение и Ответ.

Задание 2. Вычислить неопределенный интеграл:

+ Показать/спрятать подсказку №1.

+ Показать/спрятать подсказку №2.

+ Показать/спрятать подсказку №3.

+ Показать/спрятать Решение и Ответ.

Задание 3. Вычислить неопределенный интеграл:

+ Показать/спрятать подсказку №1.

+ Показать/спрятать подсказку №2.

+ Показать/спрятать подсказку №3.

+ Показать/спрятать Решение и Ответ.

Замечание: Вне зависимости от уровня знаний правил и приемов интегрирования настоятельно рекомендуется заучить следующие равенства, чаще всего используемые в тестовых заданиях:

Все эти равенства легко доказываются, однако, их необходимо помнить наизусть

Понравилась статья?

      Назад Оглавление Вперед