Определение: многочлен от нескольких переменных называется симметрическим, если он не изменяется ни при какой перестановке неизвестных.
Пример: , т.к. — не изменился при перестановке переменных.
Следующие n многочленов от n неизвестных называются элементарными симметрическими:

Решим несколько задач на тему симметрических многочленов.
1. Выразить через основные (элементарные) симметрические многочлены выражение:

Решение:
Приведем к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

В знаменателе проблем нет, сразу видно, что это , а вот с числителем придется повозиться.

Слагаемое с наибольшим порядком степени здесь вида: , старшая степень 4, сумма степеней 6, будем перебирать наборы из трех степеней, убывающие, первая не больше 4, в сумме дающие 6:

Тогда, каждому набору , где будет соответствовать многочлен
Получим

Т.к. Коэффициент при выбранном старшем слагаемом равен 1, то будем искать функцию в виде:

Определим методом неопределенных коэффициентов:
1) Пусть ,
Тогда

Подставим:

2) Пусть ,
Тогда

Подставим:

Сразу можно сделать вывод :

3) Пусть ,
Тогда

Подставим:

4) Пусть ,
Тогда

Подставим:

Определим С и D:

Получили, что
Ответ:

Пример 2.
Выразить через элементарные симметрические многочлены моногенный многочлен
.
Замечание: моногенный многочлен такого вида есть аналогия обозначения основных симметрических многочленов, т.е. в этом случае:

Алгоритм аналогичен приведенному в предыдущей задаче, только без ограничения количества переменных. В многочлене слагаемые имеют вид: , значит старшая степень 3, а сумма степеней 4:

Тогда наш моногенный многочлен можно записать в виде с неопределенными коэффициентами, при этом коэффициент при старшем слагаемом равен 1:

Вычислим коэффициенты:
1) Пусть

Подставим:

И получим:
2)

Подставим:

И получим:
3)

Подставим:

И получим ответ: