Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Численные методы. > Численное решение задачи Коши (дифференциального уравнения) методом Эйлера простым и модифицированным.

Численное решение задачи Коши (дифференциального уравнения) методом Эйлера простым и модифицированным.

Пример 1:
Найти приближённое решение задачи Коши методом Эйлера на заданном отрезке с шагом h = 0,1 .
Решение:
Для начала, найдем точное решение этого линейного уравнения первого порядка

Тогда точное решение имеет вид :
Теперь найдем численное приближенное решение методом Эйлера, с шагом .

Общий вид: Уравнение , формула:
В этом случае :
Тогда формулы имеет вид: 6

Распишем первые два шага:




n Точное значение
0 0 0 0
1 0,1 0 0,000334
2 0,2 0,001001 0,002688
3 0,3 0,005045 0,009246
4 0,4 0,014428 0,022743
5 0,5 0,032178 0,047215
6 0,6 0,062920 0,089359
7 0,7 0,114395 0,161115
8 0,8 0,200260 0,284779
9 0,9 0,345502 0,503741
10 1 0,597372 0,906094

Пример 2:
Найти приближённое решение задачи Коши методам Эйлера на заданном отрезке с шагом h= 0,01.
Найдем точное решение этого уравнения:

Подстановка начальных условий позволяет определить значение констант и частное решение будет иметь вид:

Применим метод Эйлера
Сведем заменой переменных это уравнение 3 – го порядка к системе диф. уравнений

И начальные условия примут вид:
Для системы вида:

Приближенное решение можно найти по формулам:
, где
В этом случае:

Первая итерация:

В качестве старта возьмем .
Учитывая замену, следует сравнивать столбцы Точного решения и . Для краткости приведены не все строки таблицы, обращайте внимание на n.

n       Точное значение
0 0 -1 2 3 -1
1 0,01 -0,98 2,03 2,86 -0,97985
2 0,02 -0,9597 2,0586 2,7231 -0,95942
3 0,03 -0,93911 2,085831 2,589246 -0,93871
4 0,04 -0,91826 2,111723 2,458385 -0,91775
5 0,05 -0,89714 2,136307 2,330464 -0,89653
6 0,06 -0,87578 2,159612 2,205432 -0,87509
7 0,07 -0,85418 2,181666 2,083239 -0,85342
8 0,08 -0,83236 2,202499 1,963833 -0,83154
9 0,09 -0,81034 2,222137 1,847167 -0,80947
10 0,1 -0,78812 2,240609 1,733191 -0,78721
20 0,2 -0,55754 2,366848 0,731284 -0,55674
40 0,4 -0,07924 2,369966 -0,64686 -0,08044
50 0,5 0,154261 2,284097 -1,09242 0,151633
60 0,6 0,377332 2,159485 -1,41336 0,373192
70 0,7 0,586627 2,007527 -1,63265 0,581005
80 0,8 0,779844 1,837489 -1,76968 0,772846
90 0,9 0,955524 1,656837 -1,84081 0,947307
100 1 1,112886 1,471524 -1,85974 1,103638





Пример 3.
Решить модифицированным методом Эйлера уравнение: на интервале и с начальным условием
Найдем аналитическое решение уравнения:
Это линейное уравнение первого порядка.


Т.к. , то частным решением этого уравнения
Найдем численное решение уравнения , , модифицированным методом Эйлера с h=0,01;
Формулы:

В этом случае:

Сделаем «руками» первую итерацию:

Остальное вычислим компьютерным способом и представим таблицу для

n     Точное решение.
0 0 0,5 0,5
1 0,01 0,50497475 0,504974917
2 0,02 0,509899004 0,509899337
3 0,03 0,514772269 0,514772767
4 0,04 0,519594058 0,51959472
5 0,05 0,524363889 0,524364715
6 0,06 0,529081285 0,529082273
7 0,07 0,533745774 0,533746924
8 0,08 0,538356889 0,5383582
9 0,09 0,54291417 0,542915641
10 0,1 0,547417161 0,547418791