Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Численные методы. > Решение задачи Коши ( дифференциального уравнения) методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Пример решения.

Решение задачи Коши ( дифференциального уравнения) методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Пример решения.

Пример 1. Найти приближённое решение задачи Коши методом Рунге-Кутты 4 порядка на заданном отрезке с шагом h = 0,1.
Решение:
Для начала, найдем точное решение этого линейного уравнения первого порядка

Тогда точное решение имеет вид :
Найдем приблизительное численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты ( Рунге-Кутта ) 4-го порядка.
Формулы для метода Рунге-Кутты:

Напомним уравнение:

n               Точное значение
0 0 0 0 0,0025 0,002501 0,010018 0,003337 0
1 0,1 0,000334 0,01002 0,022632 0,022675 0,040633 0,023545 0,000334
2 0,2 0,002688 0,040644 0,064369 0,064592 0,094933 0,065583 0,002688
3 0,3 0,009246 0,09496 0,133009 0,133709 0,181431 0,134971 0,009246
4 0,4 0,022744 0,181492 0,241149 0,242961 0,318567 0,244713 0,022743
5 0,5 0,047215 0,318698 0,414566 0,418916 0,543032 0,421449 0,047215
6 0,6 0,08936 0,543305 0,703721 0,713888 0,926793 0,717553 0,089359
7 0,7 0,161115 0,927332 1,207835 1,231503 1,61371 1,23662 0,161115
8 0,8 0,284777 1,614692 2,127454 2,183025 2,901619 2,189545 0,284779
9 0,9 0,503732 2,903203 3,884036 4,016816 5,434521 4,023238 0,503741
10 1 0,906055           0,906094

Пример 2. Найти приближённое решение задачи Коши методом Рунге-Кутты 4 порядка на заданном отрезке с шагом h = 0,01.
Найдем точное решение этого уравнения:

Подстановка начальных условий позволяет определить значение констант и частное решение будет иметь вид:

Найдем численное приблизительное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 4-го порядка.
Сведем заменой переменных это уравнение 3 – го порядка к системе диф. уравнений

И начальные условия примут вид:
Для системы вида:

Напомним формулы для этого метода

Соответственно, здесь будет:

Опять вспомним систему:
, откуда



Внимание, в таблице даны не все шаги при h=0,01, обращайте внимание на n.

n x y1 k1 y2 k2 y3 k3 т.З.
0 0 -1,0000 2,0100 2,0000 3,0151 3,0000 -13,5212 -1,0000
1 0,01 -0,9799 2,0403 2,0302 2,8792 2,8648 -13,2362 -0,9799
2 0,02 -0,9595 2,0693 2,0589 2,7461 2,7324 -12,9559 -0,9594
3 0,03 -0,9388 2,0969 2,0864 2,6159 2,6029 -12,6800 -0,9387
4 0,04 -0,9178 2,1232 2,1126 2,4885 2,4761 -12,4087 -0,9177
5 0,05 -0,8966 2,1482 2,1374 2,3638 2,3520 -12,1418 -0,8965
6 0,06 -0,8751 2,1719 2,1611 2,2418 2,2306 -11,8792 -0,8751
7 0,07 -0,8534 2,1945 2,1835 2,1224 2,1118 -11,6209 -0,8534
8 0,08 -0,8315 2,2158 2,2047 2,0056 1,9956 -11,3669 -0,8315
9 0,09 -0,8093 2,2359 2,2248 1,8913 1,8819 -11,1171 -0,8095
10 0,1 -0,7869 2,2550 2,2437 1,7796 1,7707 -10,8714 -0,7872
20 0,2 -0,5547 2,3872 2,3753 0,7916 0,7876 -8,6287 -0,5567
30 0,3 -0,3134 2,4300 2,4178 0,0126 0,0125 -6,7391 -0,3186
40 0,4 -0,0711 2,4026 2,3906 -0,5907 -0,5878 -5,1549 -0,0804
50 0,5 0,1659 2,3215 2,3099 -1,0471 -1,0418 -3,8344 0,1516
60 0,6 0,3929 2,2002 2,1893 -1,3812 -1,3743 -2,7407 0,3732
70 0,7 0,6063 2,0501 2,0399 -1,6145 -1,6064 -1,8415 0,5810
80 0,8 0,8038 1,8804 1,8710 -1,7652 -1,7563 -1,1087 0,7728
90 0,9 0,9838 1,6987 1,6903 -1,8488 -1,8395 -0,5176 0,9473
100 1 1,1452 1,5112 1,5037 -1,8786 -1,8692 -0,0469 1,1036