Задача: решить задачу Коши (уравнение математической физики, уравнение в частных производных гиперболического типа)

,
Решение:
Для уравнения вида

с начальными условиями
,
форму Даламбера имеет вид:

Подставим в эту формулу

Далее следует простое интегрирование.

Ответ:
Проверка:
Конечно же решающий должен быть уверен в своих действиях, но, ради интереса, можно и провести проверку.
Итак, есть функция .
Требуется проверить три факта:
1) она является решением уравнения .
Найдем вторые частные производные

Подставим в уравнение

Равенство верное, т.е. эта функция является решением уравнения.
2) Проверить, что

Все верно.
3) Проверить, что

Итог: полученная функция полностью удовлетворяет условию.