Алгоритм нахождения экстремума функционала, как и в ситуации с функциями (ССЫЛКА), состоит из двух шагов:
А) необходимое условие экстремума
Б) достаточное условие экстремума.
Вот что на эту тему говорит Лев Эрнестович Эльсгольц (часть таблицы, условия, применяемые наиболее часто):
Пусть дан функционал вида с условиями ,

Слабый минимум	Сильный минимум
1. Необходимое условие. Функционал может достигать своего экстремального значения только на функциях, являющихся решением уравнения Эйлера: . Решения этого уравнения называются допустимыми экстремалями.	1. Необходимое условие. Функционал может достигать своего экстремального значения только на функциях, являющихся решением уравнения Эйлера: .
2. Необходимые условия Если на допустимой экстремали А) выполняется условие Якоби (см. после таблицы), Б) (Условие Лежандра), то на этой экстремали функционал достигает слабого минимума.	2. Необходимые условия Если на допустимой экстремали А) выполняется условие Якоби (см. после таблицы), Б) для точек , близких к точкам на исследуемой экстремали и для произвольных значение . При этом предполагается, что функция трижды дифференцируема по для любых , то на этой экстремали функционал достигает сильного минимума.

Замечание 1: Условия для максимума аналогичны, следует лишь заменить знаки неравенств на противоположные.
Замечание 2:
Уравнение Якоби: ,
где являются известными функциями переменной .
Условие Якоби выполнено, если решение уравнения Якоби обращаются в ноль при и более не обращаются в ноль ни в одной точке отрезка .

Все эти замечательные условия лучше всего понимать на примерах.
Задача: Исследовать функционал на экстремум и вычислить экстремальное значение.

1) Необходимое условие экстремума.

Составим и решим уравнение Эйлера.

Определим константы из условий

Тогда допустимая экстремаль имеет вид:

2) Достаточные условия экстремума
А) Условие Якоби.
Запишем и решим уравнение Якоби для

Пусть решение уравнения при обращается в ноль: , тогда соотношение констант:

и решение уравнения Якоби можно записать в виде: .
На отрезке эта функция в ноль более не обращается, т.е. условие Якоби для этой допустимой экстремали (а так получилось, что она тут и не рассматривалась, т.е. оно выполнилось бы для любой экстремали) выполнено.
Замечание: при составлении уравнения Якоби «ушли» и и оно получилось очень простое. Если они не уходят, то следует поставить вместо функцию допустимой экстремали, мы ж её исследуем.
Б) Условие Лежандра.
, это неравенство не зависит от .
Вывод: на экстремали функционал достигает сильного минимума.


Найдем экстремальное значение функционала:

Ответ: Функционал достигает сильного минимума на экстремали и принимает на ней экстремальное значение