Постановка задачи: Дана поверхность и две точки на ней.
Требуется определить линию наименьшей длины, соединяющую эти точки и проходящую по этой поверхности.

Общие рассуждения.

1) Линия, т.е. уравнение кривой в пространстве, есть функция трех координат. И ее длину следует минимизировать. Из курса математического анализа помнится, что длина участка кривой вычисляется по формуле:
,
И требуется минимизировать этот функционал при условии, что . Получили задачу на условный экстремум функционала:
.
Решая, эту задачу обычным методом, получим в результате функции , т.е. искомую кривую.
Это самый общий случай метода решения геодезической задачи и он не очень удобен.

Рассмотрим более простой случай.

Предположим, что уравнение поверхности или задано в параметрической форме, или его можно параметризовать:

Тогда длину кривой вычислим по формуле:

Вспомним формулу для полного дифференциала

Будем считать, что параметры зависят между собой следующим образом: , тогда длина кривой вычисляется по формуле:
,
где
Требуется найти минимум этого функционала при условии, что .
Пример:
Решить задачу о геодезических линиях на примере вычисления расстояния между точками и на плоскости
Решение:
Замечание: Если плоскость задана своим общим уравнением , то неколлинеарные векторы, лежащие в этой плоскости, находятся по формулам:
.
Уравнение плоскости в параметрическом виде :





Параметризуем плоскость .

Выберем за точку приложения векторов
Составим параметрическое уравнение плоскости

Вычислим составляющие подкоренного выражения:

Разберемся с пределами интегрирования и граничными условиями:

Получили основную задачу вариационного исчисления в виде:

При условиях
Немного преобразуем функционал перед исследованием на экстремум

Необходимое условие экстремума.

Составим и решим уравнение Эйлера.

Из области допустимых значений этого уравнения понимаем, что подходит только значение с «+»

Определим константы из условий

Подставим в выражение для :

Это допустимая экстремаль, но, по смыслу задачи, других вариантов нет, и будем считать, без проверки достаточных условий экстремума, что функционал достигает на этой экстремали своего минимума (просто составление уравнения Якоби для этого функционала займет много места и времени).

Найдем значение функционала на этой экстремали:

Найдем расстояние между точками и по формуле из геометрии:

Результаты совпали, значит, вычисления произведены верно.
Ответ: