9. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке

Решение:
Общий вид решения (по методу Фурье) для первой смешанной задачи (с граничными условиями вида ):

В данной задаче: , подставим:

Для определения коэффициентов используем начальные условия :
1) . Лучше начать с этого условия, т.к. тут нулю равно.
Вычислим производную по t при

И приравняем к нулю:

И функция примет вид:

2)
Подставим в функцию

Приравняем:


Вычислим коэффициент по формуле:

Подставим:

Запишем итог:
Заметим, что при четном n: коэффициент становится равным нулю, а при нечетном, т.е. :
И можно немного облагородить запись функции:
Ответ: