Решить начально-краевую задачу для неоднородного волнового уравнения
![](/nkzvu/image002.gif)
С однородными граничными и начальными условиями
![](/nkzvu/image004.gif)
![](/nkzvu/image006.gif)
Решение: решим вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля, которая получается в результате разделения переменных в однородном уравнении
![](/nkzvu/image008.gif)
С однородными граничными условиями
![](/nkzvu/image004.gif)
![](/nkzvu/image011.gif)
Пример решения аналогичного уравнения можно посмотреть здесь.
Собственные значения этого уравнения при :
Собственные функции .
Решение исходной задачи будем искать в виде разложения в функциональный ряд по собственным функциям с неизвестными коэффициентами
![](/nkzvu/image021.gif)
предполагая, что его можно дважды дифференцировать по переменной х и дважды по переменной t.
Разложим функции
![](/nkzvu/image023.gif)
![](/nkzvu/image025.gif)
Разложим остальные функции в ряд по собственным функциям
![](/nkzvu/image027.gif)
Подставим полученные выражения
![](/nkzvu/image021.gif)
![](/nkzvu/image035.gif)
в исходное уравнение
![](/nkzvu/image039.gif)
![](/nkzvu/image041.gif)
Подставим
![](/nkzvu/image035.gif)
![](/nkzvu/image031.gif)
В начальное условие
![](/nkzvu/image045.gif)
![](/nkzvu/image047.gif)
Учтем, что
![](/nkzvu/image049.gif)
![](/nkzvu/image051.gif)
![](/nkzvu/image053.gif)
Решаем по очереди
![](/nkzvu/image055.gif)
![](/nkzvu/image057.gif)
И второе
![](/nkzvu/image059.gif)
![](/nkzvu/image061.gif)
Далее
![](/nkzvu/image063.gif)
Подставим найденные значения функций и получим ответ:
![](/nkzvu/image065.gif)