Решить начально-краевую задачу для неоднородного волнового уравнения
С однородными граничными и начальными условиями
Решение: решим вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля, которая получается в результате разделения переменных в однородном уравнении
С однородными граничными условиями
Пример решения аналогичного уравнения можно посмотреть здесь.
Собственные значения этого уравнения при 
: 
Собственные функции 
.
Решение исходной задачи будем искать в виде разложения в функциональный ряд по собственным функциям с неизвестными коэффициентами 
предполагая, что его можно дважды дифференцировать по переменной х и дважды по переменной t.
Разложим функции
, в ряд по собственным функциям
Разложим остальные функции в ряд по собственным функциям
Подставим полученные выражения
в исходное уравнение
Подставим
В начальное условие
Учтем, что
Решаем по очереди
И второе
Далее
Подставим найденные значения функций и получим ответ:
