Решить начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности
![](/nkzut/image002.gif)
С однородными граничными условиями и заданным начальным условием
![](/nkzut/image010.gif)
![](/nkzut/image006.gif)
Решение:
Сначала решим задачу Штурма-Лиувилля,
![](/nkzut/image002.gif)
С однородными граничными условиями
![](/nkzut/image004.gif)
методом разделения переменных.
Будем искать частные решения однородного уравнения, удовлетворяющие однородным граничным условиям в виде
![](/nkzut/image012.gif)
Поставим это выражение в исходное уравнение
![](/nkzut/image014.gif)
И разделим переменные
![](/nkzut/image018.gif)
Получим дифференциальные уравнения
![](/nkzut/image020.gif)
Подставим граничные условия
![](/nkzut/image010.gif)
в выражение
![](/nkzut/image023.gif)
![](/nkzut/image025.gif)
Т.к.
![](/nkzut/image027.gif)
![](/nkzut/image029.gif)
Решение задачи Штурма-Лиувилля: собственные значения и соответствующие им собственные функции при
![](/nkzut/image031.gif)
![](/nkzut/image033.gif)
Рассмотрим уравнение
![](/nkzut/image035.gif)
при
![](/nkzut/image037.gif)
При общее решение можно записать в виде:
![](/nkzut/image041.gif)
На данный момент найдено множество счетных решений
![](/nkzut/image043.gif)
А решение всей задачи будем искать в виде функционального ряда
![](/nkzut/image045.gif)
предполагая, что его можно дважды дифференцировать по переменной х и один раз по переменной t.
Поставим в это решение для определения коэффициентов начальное условие
![](/nkzut/image006.gif)
![](/nkzut/image048.gif)
Подставим коэффициенты и получим
Ответ: