Решить начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности

С однородными граничными условиями и заданным начальным условием


Решение:
Сначала решим задачу Штурма-Лиувилля,

С однородными граничными условиями

методом разделения переменных.
Будем искать частные решения однородного уравнения, удовлетворяющие однородным граничным условиям в виде

Поставим это выражение в исходное уравнение

И разделим переменные

Получим дифференциальные уравнения

Подставим граничные условия

в выражение

Т.к. тождественно не равны нулю, то

Решение задачи Штурма-Лиувилля: собственные значения и соответствующие им собственные функции при имеют следующий вид

Рассмотрим уравнение
при

При общее решение можно записать в виде:

.
На данный момент найдено множество счетных решений

А решение всей задачи будем искать в виде функционального ряда
,
предполагая, что его можно дважды дифференцировать по переменной х и один раз по переменной t.
Поставим в это решение для определения коэффициентов начальное условие

Подставим коэффициенты и получим
Ответ: