Используя данные, приведенные в таблице:
1) Построить линейное уравнение множественной регрессии;
2) Оценить значимость параметров данного уравнения построить доверительные интервалы для каждого из параметров, оценить значимость уравнения в целом, пояснить экономический смысл полученных результатов;
3) Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной детерминации, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними;
4) Вычислить прогнозное значение при уменьшении вектора
на
от максимального уровня, оценить ошибку прогноза и построить доверительный интервал прогноза.
![](/econometrika/image013.gif)
1) Предполагается, что объясняемая переменная зависит от двух факторов
и
, поэтому уравнение регрессии будем искать в виде
![](/econometrika/image101.gif)
где
![](/econometrika/image103.gif)
![](/econometrika/image105.gif)
![](/econometrika/image107.gif)
при этом необходимо найти матрицу параметров модели
![](/econometrika/image040.gif)
![](/econometrika/image110.gif)
по формуле
![](/econometrika/image112.gif)
Найдем матрицу
![](/econometrika/image114.gif)
![](/econometrika/image116.gif)
Найдем
![](/econometrika/image118.gif)
Найдем произведение матриц
![](/econometrika/image120.gif)
Найдем матрицу параметров модели
![](/econometrika/image040.gif)
![](/econometrika/image123.gif)
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид
![](/econometrika/image125.gif)
2) Оценим значимость параметров данного уравнения и построим доверительные интервалы для каждого из параметров, оценим значимость уравнения в целом, поясним экономический смысл полученных результатов.
Используя начальные данные и полученное уравнение, заполним следующую таблицу:
![](/econometrika/image015.gif)
Остаточная дисперсия определяется выражением
![](/econometrika/image136.gif)
а дисперсии параметров уравнения регрессии равны
![](/econometrika/image138.gif)
![](/econometrika/image140.gif)
![](/econometrika/image142.gif)
Доверительный интервал для параметра
![](/econometrika/image144.gif)
![](/econometrika/image146.gif)
Коэффициент Стьюдента , следовательно
![](/econometrika/image150.gif)
![](/econometrika/image152.gif)
Аналогично получим
![](/econometrika/image154.gif)
![](/econometrika/image156.gif)
Для оценки значимости параметров уравнения регрессии сравним
![](/econometrika/image148.gif)
![](/econometrika/image158.gif)
![](/econometrika/image160.gif)
![](/econometrika/image162.gif)
Анализ показывает, что при надежности
![](/econometrika/image164.gif)
![](/econometrika/image144.gif)
![](/econometrika/image167.gif)
Оценим общее качество уравнения регрессии. Используя начальные данные и полученное уравнение, заполним следующую таблицу:
![](/econometrika/image017.gif)
Найдем индекс корреляции
![](/econometrika/image173.gif)
при этом скорректированный коэффициент детерминации равен
![](/econometrika/image175.gif)
Проверим значимость уравнения регрессии, при этом должно выполняться неравенство
![](/econometrika/image177.gif)
Наблюдаемый критерий равен
![](/econometrika/image179.gif)
а
![](/econometrika/image181.gif)
![](/econometrika/image183.gif)
3) Рассчитаем линейные коэффициенты частной корреляции и сравним их с линейными коэффициентами парной корреляции
![](/econometrika/image185.gif)
![](/econometrika/image187.gif)
![](/econometrika/image189.gif)
Рассмотрев межфакторный коэффициент корреляции можно сказать, что отрицательная линейная связь между факторами
и
очень слабая и возможно введение их как двух отдельных факторов в модель. Парные коэффициенты
с каждым из факторов
и
: показывают наличие довольно сильной положительной линейной связи с первым фактором,
показывает практически отсутствие связи.
Частные коэффициенты корреляции найдем по формулам
![](/econometrika/image198.gif)
![](/econometrika/image200.gif)
Их значения показывают, что при отсутствии влияния других факторов, связь с рассматриваемым фактором уменьшается.
4. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют от их максимального значения
Для этого в полученное равнение регрессии подставим ;
:
![](/econometrika/image208.gif)
Доверительный интервал найдем по формуле
![](/econometrika/image210.gif)
где
![](/econometrika/image212.gif)
![](/econometrika/image214.gif)
![](/econometrika/image216.gif)
![](/econometrika/image148.gif)
![](/econometrika/image219.gif)
![](/econometrika/image221.gif)
Построенная линейная модель не выявила положительную зависимость объясняемой переменной
![](/econometrika/image095.gif)