Задача: Отделить один корень уравнения и вычислить его на полученном отрезке [a;b] с точностью до 0,0001 тремя методами.
А) метод дихотомии
Б) метод простой итерации.
Г) метод хорд.
Решение:
а) решить уравнение методом простой итерации
Отделим корень, для этого преобразуем уравнение к виду:
![](/hord/image006.gif)
и построим графики функций
![](/hord/image008.gif)
![](/hord/image010.gif)
![](/hord/image012.jpg)
Пересечение этих графиков видно на интервале [-3;-2], т.е. корень будем искать именно на этом промежутке.
Преобразуем уравнение к виду
![](/hord/image014.gif)
![](/hord/image016.gif)
Выберем первое приближение
![](/hord/image018.gif)
![](/hord/image020.gif)
![](/hord/image022.gif)
т.о., с требуемой точностью
![](/hord/image024.gif)
Ответ:
![](/hord/image024.gif)
б) решим уравнение методом дихотомии (деление отрезка, на котором отделен корень, пополам).
Уравнение:
![](/hord/image002.gif)
Отрезок, на котором будем искать корень [-3;-2].
![](/hord/image026.gif)
на концах отрезка функция принимает разные знаки
![](/hord/image028.gif)
Рассмотрим отрезок [-2,5;-2], т.к. на его концах функция принимает разные по знаку значения.
![](/hord/image030.gif)
Рассмотрим отрезок [-2,25;-2], т.к. на его концах функция принимает разные по знаку значения.
![](/hord/image032.gif)
Рассмотрим отрезок [-2,125;-2], т.к. на его концах функция принимает разные по знаку значения.
![](/hord/image034.gif)
Рассмотрим отрезок [-2,125;-2,0625], т.к. на его концах функция принимает разные по знаку значения.
![](/hord/image036.gif)
Рассмотрим отрезок [-2,125;-2,09375], т.к. на его концах функция принимает разные по знаку значения.
![](/hord/image038.gif)
Рассмотрим отрезок [-2,125;-2,109375], т.к. на его концах функция принимает разные по знаку значения.
![](/hord/image040.gif)
Рассмотрим отрезок [-2,125;-2,1171875], т.к. на его концах функция принимает разные по знаку значения.
![](/hord/image042.gif)
Рассмотрим отрезок [-2,12109375;-2,1171875], т.к. на его концах функция принимает разные по знаку значения.
![](/hord/image044.gif)
Рассмотрим отрезок [-2,12109375;-2,119140625], т.к. на его концах функция принимает разные по знаку значения.
![](/hord/image046.gif)
Т.к. , то корень найден с заданной точностью
Ответ:
Г) решить уравнение методом хорд.
Уравнение:
Итерационная формула имеет вид:
![](/hord/image052.gif)
![](/hord/image054.gif)
![](/hord/image056.gif)
![](/hord/image058.gif)
Корень найден с заданной точностью
![](/hord/image061.gif)
Ответ:
![](/hord/image061.gif)
Вывод:
При решении этого уравнения тремя способами получены корни:
![](/hord/image024.gif)
![](/hord/image050.gif)
![](/hord/image061.gif)
Значение функции Уравнение:
![](/hord/image063.gif)
-0,00008037
Т.е. очень не значимо отличается от нуля. Различия в значении корней в первом, втором и третьем случае объясняется различными критериями остановки итерационного процесса