Провести полное исследование функции и построить её график
Проведем исследование функции
1) Область определения : знаменатель не должен обращаться в ноль, подкоренное выражение должно быть неотрицательным
![](/grafik/image004.gif)
Область определения:
![](/grafik/image006.gif)
2) область значений на данном этапе исследования установить затруднительно.
3) четность, нечетнось, периодичность.
Проверим функцию на четность:
![](/grafik/image008.gif)
Функция является четной, значит ее график симметричен относительно оси ОY.
Проверим на периодичность: , где T не равно нулю и не зависит от х.
Т.к. функция неопределенна лишь на одном интервале, то она не является периодичной.
4) Точки пересечения с осями координат:
а) пересечение о ОХ
![](/grafik/image012.gif)
![](/grafik/image014.gif)
б) пересечение о ОY
![](/grafik/image016.gif)
— в этой точке функция неопределена.
Итого, график пересекает оси в точках с координатами .
4) Интервалы знакопостоянства.
а)
![](/grafik/image020.gif)
![](/grafik/image022.gif)
б)
![](/grafik/image024.gif)
![](/grafik/image028.gif)
2) максимумы/минимумы, промежутки убывания/возрастания функции
Точки, подозрительные на экстремум:
![](/grafik/image030.gif)
![](/grafik/image016.gif)
Возрастание:
![](/grafik/image033.gif)
![](/grafik/image035.gif)
Убывание:
![](/grafik/image037.gif)
![](/grafik/image039.gif)
![](/grafik/image041.gif)
5. Точки перегиба, промежутки выпуклости вверх/вниз.
![](/grafik/image043.gif)
— уравнение не имеет решения на ОДЗ, Вторая производная всюду отрицательна, т.е. функция выпукла вверх
![](/grafik/image045.gif)
6. Асимптоты:
А) вертикальные
![](/grafik/image047.gif)
Равенство верно при
![](/grafik/image049.gif)
![](/grafik/image051.gif)
Б) наклонные
![](/grafik/image053.gif)
![](/grafik/image055.gif)
Наклонные асимптоты соответственно на плюс и минус бесконечности соответственно.
7. Построим график:
![](/grafik/image059.jpg)