По данным, приведенным в таблице:
1) Построить линейное уравнение парной регрессии y на x;
2) Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и оценить тесноту связи;
3) Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корелляции, используя F-статистику, t-статистику Стьюдента и путем расчета доверительных интервалов каждого из показателей;
4) Вычислить прогнозное значение y при прогнозном значении x, составляющем 108% от среднего уровня;
5) Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал;
6) Полученные результаты изобразить графически и провести экономическое обоснование.
По территории Центрального района известны данные за 1995 год.
Район | Доля денежных доходов, направленных на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, % у | Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс. руб. х |
Брянская обл. | 6,9 | 289 |
Владимирская обл. | 8,7 | 334 |
Ивановская обл. | 6,4 | 300 |
Калужская обл. | 8,4 | 343 |
Костромская обл. | 6,1 | 356 |
Орловская обл. | 9,4 | 289 |
Рязанская обл. | 11 | 341 |
Смоленская обл. | 6,4 | 327 |
Тверская обл. | 9,3 | 357 |
Тульская обл. | 8,2 | 352 |
Ярославская обл. | 8,6 | 381 |
Решение.
1. Заполним таблицу экспериментальных данных, за исключением двух последних столбцов.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
1 | 289 | 6,9 | 83521 | 47,61 | 1994,1 | 1984,298 | 7,64216 | 0,550802 |
2 | 334 | 8,7 | 111556 | 75,69 | 2905,8 | 0,206612 | 8,132223 | 0,322371 |
3 | 300 | 6,4 | 90000 | 40,96 | 1920 | 1125,298 | 7,761953 | 1,854917 |
4 | 343 | 8,4 | 117649 | 70,56 | 2881,2 | 89,38843 | 8,230235 | 0,02882 |
5 | 356 | 6,1 | 126736 | 37,21 | 2171,6 | 504,2066 | 8,371809 | 5,161116 |
6 | 289 | 9,4 | 83521 | 88,36 | 2716,6 | 1984,298 | 7,64216 | 3,090001 |
7 | 341 | 11 | 116281 | 121 | 3751 | 55,57025 | 8,208455 | 7,792724 |
8 | 327 | 6,4 | 106929 | 40,96 | 2092,8 | 42,84298 | 8,055991 | 2,742306 |
9 | 357 | 9,3 | 127449 | 86,49 | 3320,1 | 550,1157 | 8,382699 | 0,84144 |
10 | 352 | 8,2 | 123904 | 67,24 | 2886,4 | 340,5702 | 8,328248 | 0,016448 |
11 | 381 | 8,6 | 145161 | 73,96 | 3276,6 | 2251,934 | 8,644066 | 0,001942 |
Сумма: | 3669 | 89,4 | 1232707 | 750,04 | 29916,2 | 8928,727 | 89,4 | 22,40289 |
Найдем параметры линейной регрессии
![](/statis/image018.gif)
![](/statis/image020.gif)
Следовательно, уравнение регрессии имеет вид
![](/statis/image022.gif)
Значит, при увеличении среднемесячной начисленной заработной платы на 1 тысячу рублей доля денежных доходов, направленных на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода увеличивается в среднем на 0,0109%.
С помощью найденного уравнения регрессии заполняем два последних столбика таблицы, учитывая, что среднее значение независимой переменной
![](/statis/image024.gif)
2. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции
![](/statis/image026.gif)
![](/statis/image028.gif)
Связь очень хорошая.
3. Используя данные из таблицы, найдем интервальные оценки параметров регрессии с 95% надежностью.
Стандартная ошибка оценки равна
![](/statis/image030.gif)
Интервал для свободного члена регрессии (параметра А)
![](/statis/image032.gif)
![](/statis/image034.gif)
Коэффициент Стьюдента
![](/statis/image036.gif)
![](/statis/image038.gif)
Интервальная оценка для коэффициента регрессии определяется по следующей формуле
![](/statis/image042.gif)
![](/statis/image044.gif)
![](/statis/image046.gif)
Т.е. с надежностью 0,95 при увеличении зарплаты на 1 тысячу затраты увеличатся на величину, заключенную в пределах от -0,0269 до 0,0489 %.
Оценим значимость коэффициентов регрессии и корелляции с помощью t-статистики Стьюдента. Для этого необходимо сравнить табличное значение t-критерия (для уровня значимость и числа степеней свободы
) с расчетными критериями
:
![](/statis/image054.gif)
![](/statis/image056.gif)
![](/statis/image058.gif)
Коэффициент Стьюдента , следовательно, фактические значения не превосходят табличное значение
![](/statis/image062.gif)
![](/statis/image064.gif)
![](/statis/image066.gif)
И коэффициенты не значимы.
4) Вычислим прогнозное значение y при прогнозном значении x, составляющем 108% от среднего уровня.
![](/statis/image070.gif)
![](/statis/image072.gif)
![](/statis/image074.gif)
5) Оценим точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
Индивидуальные значения урожайности принадлежат промежутку
![](/statis/image078.gif)
![](/statis/image080.gif)
![](/statis/image082.gif)
6) Нанесем экспериментальные точки на координатную плоскость, построим уравнение регрессии (точки – наблюдаемые значения, прямая – линия регрессии)
![](/statis/image084.gif)
Нельзя сделать вывод о правомочности применения линейной регрессионной модели.