1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что
а) сумма числа очков не превосходит числа 15;
б) произведение числа очков не превосходит числа 15;
в) произведение числа очков делится на 15.
Решение:
Будем решать эту задачу с помощью классического определения вероятности.
, где
n- количество всевозможных исходов.
m- количество благоприятных исходов.
Распишем всевозможные исходы эксперимента. Например (2,4) будет означать, что на первой кости выпала 2, а на второй 4.

Всего – 36 вариантов, т.е. n=36.
А) сумма числа очков не превосходит числа 15. Вообще то сумма на двух костях может быть максимум равна 12, т.е. подходят все пары, т.е. m=36.

б) произведение числа очков не превосходит числа 15. Подходят пары :

Т.е. 23 пары. m = 23.

в) произведение числа очков делится на 15. Т.е. это, например, числа 15,30,45, и т.д.
Пары, произведение в которых равно этим цифрам это :

Т.е., в данном случае m=4

Ответ: а) 1 б) 23/36 в) 1/9
2. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий каждого сорта равно, соответственно, 2,5,2,3. Для контроля наудачу берутся 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них 1 первосортная деталь, 3 – второго сорта, 1 – третьего, 2 – четвертого сорта.
Решение:
,
где — количество способов, которыми из всех 12 деталей можно выбрать любые 7.
— это количество способов, которыми из 2 деталей первого сорта можно выбрать 1, из 5 деталей второго сорта выбрать 3, и т.д.
.
Ответ: .
3. Среди 8 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 3 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.
Решение:
,
где -количество способов выбора из всех 8-ми билетов любых 3-х.
— количество способов выбора из 4-х выигрышных любых 2-х и из 4-х невыигрышных оставшегося 1-го.

Ответ: .
4. В лифт 10-ти этажного дома сели 6 пассажиров. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что:
а) все вышли на разных этажах;
б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
Решение:
.
n- количество способов, которыми все люди могут выйти на любых этажах.
, т.к. каждый из 6-ти человек может выйти на любом из 9-ти имеющихся в доме этажей, т.к. на первом они не выходят.
А) все вышли на разных этажах.
m-количество способов выходя людей так, чтобы ни на одном этаже не вышли 2 человека.
, т.к., допустим, первый человек может выйти на любом из девяти этажей, у второго выбор уже на 1 этаж меньше, т.е. 8 вариантов, т.к. на одном этаже первый уже вышел, у третьего пассажира осталось для выхода всего 7 этажей и т.д.
.
Б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
Событие «по крайней мере, двое сошли на одном этаже» противоположно событию «все сошли на разных этажах». Воспользуемся формулой вероятности противоположного события


Ответ: , .
5. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину ¼.
Решение: Задача решается с помощью формулы геометрической вероятности.

— вся длина, на которую может попасть точка.
-длина отрезка, попадание на который выгодно, т.е. необходимо, чтобы расстояние от точки до концов отрезка было не меньше ¼.


Ответ: 0,5.
15. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 50% изделий, второй завод – 20%, третий завод – 30%. Среди изделий 1-го завода 90% первосортных, среди изделий 2-го – 80%, 3-го – 90%. Куплено одно изделие, оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что изделие выпущено 3-м заводом.
Решение:
Воспользуемся формулой Байеса.

Перечислим гипотезы:
— деталь поступила с первого завода,
— деталь поступила с первого завода,
— деталь поступила с первого завода, .
Найдем условные вероятности:
— вероятность того, что деталь, доставленная с первого завода, первосортная.
— вероятность того, что деталь со второго завода, первосортная.
— вероятность того, что деталь с третьего завода, первосортная.
Подставим:

Ответ: .
21. Дана плотность распределения случайно величины . Найти параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .
.
Решение:
1) Для нахождения параметра воспользуемся свойством плотности распределения:


Плотность распределения принимает вид:
.
2) Найдем по формуле

3) Найдем по формуле

4) Найдем функцию распределения случайной величины .
Воспользуемся формулой .
А) Пусть , ,

б) Пусть , ,

в) Пусть , ,

Итак, функция распределения имеет вид:

г) Найдем вероятность выполнения неравенства .
Воспользуемся формулой
.
22. Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид . Найти параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .
Решение:
1) Для нахождения параметра воспользуемся свойством плотности распределения:


Плотность распределения принимает вид:

— Нормальное распределение с параметрами ,

4) Найдем функцию распределения случайной величины .
Воспользуемся формулой .

г) Найдем вероятность выполнения неравенства .
Воспользуемся формулой

23. По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию , математическое ожидание , дисперсию случайной величины .
Решение:
Дан закон Пуассона: .
Найдем характеристическую функцию.
Воспользуемся формулой
.
.
, . (т.к. дан именно закон Пуассона, а про него известно, что числовые характеристики равны а, в данном варианте a = 0,26.)

36. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией . По выборке объема вычислено выборочное среднее . Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения , отвечающий заданной доверительной вероятности .
Решение:
Воспользуемся формулой:
, где

— табличные данные.
Подставляем в неравенство.

Ответ: