Все интегралы вычисляются с использованием Леммы Жордана:
Пусть — лежащая в верхней полуплоскости дуга окружности радиуса R с центром в некоторой фиксированной точке , а функция имеет вид:
, причем . Если функция аналитична на действительной оси, а в верхней полуплоскости имеет конечное число особых точек и , то
.
Но это определение, а при решении задач используется формула:
.
Замечание:
Если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в этой точке.
Пояснение на пальцах: аналитическая в области – от нее можно вычислить производную в любой точке этой области.

Так же помним про формулу Эйлера:

1.
Вычислить интеграл:
.

Вычислим значение вспомогательного интеграла .
По лемме Жордана ,

— аналитична на действительной оси.
Условия леммы Жордана выполнены.
Функция имеет особыми точками полюсы первого порядка . В верхней полуплоскости лежит только . Найдем вычет в этой точке:

Пользуемся

По формуле Эйлера (см выше).

Приравняем действительные части последних двух выражений:
Ответ:

Вычислим значение вспомогательного интеграла .
По лемме Жордана ,

— аналитична на действительной оси.
Условия леммы Жордана выполнены.
Функция имеет особыми точками полюсы первого порядка . В верхней полуплоскости лежит только . Найдем вычет в этой точке:

Пользуемся

По формуле Эйлера (см выше).

Приравняем мнимые части последних двух выражений.
Ответ:

3.
Вычислить интеграл:
.

Вычислим значение вспомогательного интеграла .
По лемме Жордана ,

— аналитична на действительной оси.
Условия леммы Жордана выполнены.
Функция имеет особыми точками полюсы первого порядка и . В верхней полуплоскости лежит и . Найдем вычеты в этой точке:

Пользуемся

По формуле Эйлера (см выше).

Приравняем мнимые части последних двух выражений
Ответ: