Алгоритм нахождения экстремума функционала, как и в ситуации с функциями (ССЫЛКА), состоит из двух шагов:
А) необходимое условие экстремума
Б) достаточное условие экстремума.
Вот что на эту тему говорит Лев Эрнестович Эльсгольц (часть таблицы, условия, применяемые наиболее часто):
Пусть дан функционал вида с условиями
,
Слабый минимум | Сильный минимум |
1. Необходимое условие. Функционал может достигать своего экстремального значения только на функциях, являющихся решением уравнения Эйлера: ![]() Решения этого уравнения называются допустимыми экстремалями. |
1. Необходимое условие. Функционал может достигать своего экстремального значения только на функциях, являющихся решением уравнения Эйлера: ![]() |
2. Необходимые условия Если на допустимой экстремали А) выполняется условие Якоби (см. после таблицы), Б) ![]() то на этой экстремали функционал достигает слабого минимума. |
2. Необходимые условия Если на допустимой экстремали А) выполняется условие Якоби (см. после таблицы), Б) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() то на этой экстремали функционал достигает сильного минимума. |
Замечание 1: Условия для максимума аналогичны, следует лишь заменить знаки неравенств на противоположные.
Замечание 2:
Уравнение Якоби:
![](imag/variac/image018.png)
где
![](imag/variac/image020.png)
![](imag/variac/image022.png)
Условие Якоби выполнено, если решение уравнения Якоби
![](imag/variac/image024.png)
![](imag/variac/image026.png)
![](imag/variac/image028.png)
Все эти замечательные условия лучше всего понимать на примерах.
Задача: Исследовать функционал на экстремум и вычислить экстремальное значение.
![](imag/variac/image030.png)
1) Необходимое условие экстремума.
![](imag/variac/image032.png)
Составим и решим уравнение Эйлера.
![](imag/variac/image034.png)
Определим константы из условий
![](imag/variac/image036.png)
![](imag/variac/image038.png)
Тогда допустимая экстремаль имеет вид:
![](imag/variac/image040.png)
2) Достаточные условия экстремума
А) Условие Якоби.
Запишем и решим уравнение Якоби для
![](imag/variac/image042.png)
Пусть решение уравнения
![](imag/variac/image044.png)
![](imag/variac/image046.png)
![](imag/variac/image048.png)
![](imag/variac/image050.png)
и решение уравнения Якоби можно записать в виде:
![](imag/variac/image052.png)
На отрезке
![](imag/variac/image054.png)
Замечание: при составлении уравнения Якоби «ушли»
![](imag/variac/image056.png)
![](imag/variac/image014.png)
![](imag/variac/image056.png)
Б) Условие Лежандра.
![](imag/variac/image059.png)
![](imag/variac/image014.png)
Вывод: на экстремали
![](imag/variac/image040.png)
![](imag/variac/image062.png)
Найдем экстремальное значение функционала:
![](imag/variac/image064.png)
Ответ: Функционал достигает сильного минимума на экстремали
![](imag/variac/image040.png)
![](imag/variac/image066.png)