9. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке
![](imag/chudes/image032.png)
Решение:
Общий вид решения (по методу Фурье) для первой смешанной задачи (с граничными условиями вида
![](imag/chudes/image034.png)
![](imag/chudes/image036.png)
В данной задаче:
![](imag/chudes/image038.png)
![](imag/chudes/image040.png)
Для определения коэффициентов
![](imag/chudes/image042.png)
![](imag/chudes/image044.png)
1)
![](imag/chudes/image046.png)
Вычислим производную по t при
![](imag/chudes/image048.png)
![](imag/chudes/image050.png)
И приравняем к нулю:
![](imag/chudes/image052.png)
И функция примет вид:
![](imag/chudes/image054.png)
2)
![](imag/chudes/image056.png)
Подставим в функцию
![](imag/chudes/image058.png)
Приравняем:
![](imag/chudes/image060.png)
![](imag/chudes/image062.png)
Вычислим коэффициент
![](imag/chudes/image064.png)
![](imag/chudes/image066.png)
Подставим:
![](imag/chudes/image068.png)
Запишем итог:
![](imag/chudes/image070.png)
Заметим, что при четном n:
![](imag/chudes/image072.png)
![](imag/chudes/image074.png)
![](imag/chudes/image076.png)
И можно немного облагородить запись функции:
![](imag/chudes/image078.png)
Ответ:
![](imag/chudes/image078.png)