2. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду
![](imag/chudes/image179.png)
Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его.
![](imag/chudes/image181.png)
Это квадратное уравнение относительно
![](imag/chudes/image183.png)
![](imag/chudes/image185.png)
![](imag/chudes/image187.png)
Сделаем замену переменных. Первую возьмем из общего интеграла характеристического уравнения:
![](imag/chudes/image189.png)
![](imag/chudes/image191.png)
![](imag/chudes/image193.png)
Проверим линейную независимость замены:
![](imag/chudes/image195.png)
Итак, замена:
![](imag/chudes/image197.png)
Сделаем замену частных производных.
Подготовительный момент:
![](imag/chudes/image199.png)
Теперь поставляем в замены:
![](imag/chudes/image201.png)
Подставим в исходное уравнение:
![](imag/chudes/image203.png)
Это каноническое уравнение параболического типа, где
![](imag/chudes/image197.png)
Решим его.
Проинтегрируем обе части равенства по
![](imag/chudes/image205.png)
![](imag/chudes/image207.png)
Получили ОДУ, общий вид решения которого (при
![](imag/chudes/image191.png)
![](imag/chudes/image210.png)
Проверить это можно дифференцированием по
![](imag/chudes/image205.png)
![](imag/chudes/image212.png)
Делаем обратную замену и получаем ответ:
![](imag/chudes/image214.png)