Задача: Доказать тождество .
Решение:
Обычно задачи такого плана задаются при изучении науки «Теория вероятностей» в ее первых главах, на тему «Операции над множествами». Решать эту задачу можно несколькими способами:
1) Исходя из непосредственного определения операций, т.е. логически определять при каких условиях элемент будет принадлежать множеству, определяемому правой частью и левой частью, и, если эти условия совпадают, то тождество признается верным. Но это сложно и муторно, не будем рассматривать этот метод.
2) С помощью диаграмм Эйлера-Венна, графически определяя множества-результаты. Если итоговые картинки совпадают, то тождество верно.
3) при помощи характеристической функции.
Итак:
2) Доказать тождество с помощью диаграмм Эйлера-Венна, т.е. обозначим графически множества вот так

и будем заштриховывать результаты соответствующих операций.
Левая часть:

По порядку:
А)


Б)


Результат:


Правая часть имеет вид
Поехали:
А) (красный):

Б)


В) Итог


Как легко заметить, закрашенные области для левой и правой частей тождества совпадают, т.е. тождество верно.
3) Доказать тождество с помощью характеристических функций.
Введем понятие характеристической функции.
Определение: Характеристической функцией множества
называется функция, отображающая множество
на множество
:

Из определения можно получить следующие равенства:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) .
Решение методом характеристических функций.
Тождество: .
Составим характеристическую функцию левой части тождества:

Составим характеристическую функцию левой части тождества:

Характеристические функции правой и левой частей тождества совпадают. Следовательно, тождество верно.