Оглавление.
1. Нахождение максимума и минимума функции одной переменной.
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Один из типов задач математического анализа: исследовать функцию одной переменной на минимум и (или) максимум. Иногда экстремум (собирательное название для минимума и максимума) функции требуется найти на некотором интервале. Задачи подобного плана попадаются также в курсе средней школы и среди заданий Единого Государственного Экзамена.
Постановка задачи 1:
Дана функция , определенная на некотором промежутке. Требуется найти точки максимумов (минимумов) функции.
Теоретические основы.
Определение: Говорят, что функция имеет в точке максимум , рис. а) ( или минимум, рис. б) ) , если существует некоторая окрестность в промежутке, где функция определена, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство
( ).
Замечание:
Extremum- (латынь) крайнее.
Maximum – (латынь) наибольшее.
Minimum – (латынь) наименьшее.
Необходимое условие экстремума (Теорема Ферма):
Пусть функция определена на некотором промежутке и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная , то необходимо .
Определение: Если выполняется равенство , то точку будем называть стационарной точкой.
Определение: Стационарные точки и точки, в которых не существует двусторонней конечной производной, будем называть точками, подозрительными на экстремум.
Иллюстрация некоторых случаев, кроме представленных выше двух:
1) Экстремума нет, первая производная равна нулю.
2) Точка максимума, первая производная слева и справа бесконечна.
3) Экстремума нет, первая производная слева и справа бесконечна.
4) Точка минимума, первая производная слева не равна первой производной справа.
5) Экстремума нет, первая производная слева не равна первой производной справа.
Замечание (Геометрический смысл производной):
Производная функции в точке численно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции , проведенной в точке .
Пример 1:
Рассмотрим функцию .
Вычислим производную этой функции:
Итак, точки, подозрительные на экстремум:
Построим график этой функции.
На графики видно, что функция имеет максимум при , минимумы при . При функция экстремума не имеет.
Из этого примера видно, что равенство нулю производной в точке является обязательным условием экстремума функции в этой точке, но не является достаточным условием.
Теорема (условие монотонности функции):
Пусть функция определена и непрерывна в непрерывна в некотором промежутке и внутри него имеет конечную производную . Для того, чтобы была на этом промежутке монотонно возрастающей (убывающей) в широком смысле, необходимо и достаточно условие
Достаточное условие экстремума:
Предположим, что в некоторой окрестности стационарной точки существует конечная производная и как слева от ,так и справа от ( в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:
1) при и при (производная при переходе через точку меняет свой знак с плюса на минус). Т.е. при функция возрастает, а при — убывает. Значит, значение будет наибольшим в промежутке . Другими словами, в точке функция имеет максимум.
Пояснение: Сверху от числовой оси указывается знак производной на соответствующем интервале, снизу от числовой оси обозначается поведение функции на соответствующем интервале (убывание или возрастание).
2) при и при (производная при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс). Т.е. при функция убывает, а при — возрастает. Значит, значение будет наименьшим в промежутке . Другими словами, в точке функция имеет минимум.
3) при и при ( при и при )(производная при переходе через точку не меняет свой знак). Т.е. функция в промежутке убывает (возрастает). Другими словами, в точке функция не имеет экстремума.
Пример 2:
Рассмотрим вновь функцию .
Производная этой функции имеет вид:
Точки, подозрительные на экстремум: . Выясним знаки производной на соответствующих интервалах (решим методом интервалов неравенства и ):
Из рисунка видно, что в точке производная меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. при функция имеет минимум.
В точке производная меняет свой знак с плюса на минус, т.е. при функция имеет максимум.
В точке производная меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. при функция имеет минимум.
В точке производная своего знака не меняет, т.е. экстремума там нет.
Полученные данные полностью подтверждаются графиком функции.
Алгоритм решения задачи 1.
1) Найти производную функции .
2) Найти стационарные точки (точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение .Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.
3) Выяснить, меняет ли производная свой знак в точках, подозрительных на экстремум.. Если она меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет свой минимум. Если с плюса на минус, то максимум, а если знак производной не меняется, то экстремума в этой точке нет.
4) Найти значение функции в точках минимума (максимума).
Дополнение:
Исследование знака первой производной функции по разные стороны от стационарной точки (достаточное условие экстремума) можно заменить исследованием знака второй производной в этой стационарной точке (при условии её существования).
1) если , то функция имеет в этой точке минимум.
2) если , то функция имеет в этой точке максимум.
3) если , то вопрос о существовании экстремума в этой точке остается открытым.
Пример 3:
Исследовать на экстремум функцию
Решение:
1) Найти производную функции .
2) Найти стационарные точки (точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение . Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.
Точки, подозрительные на экстремум: , , .(т.к. функция в определена)
3) Выяснить, меняет ли производная свой знак в точках, подозрительных на экстремум. Если она меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет свой минимум. Если с плюса на минус, то максимум, а если знак производной при переходе через стационарную точку не меняется, то экстремума в этой точке нет.
Решим неравенство .
Решим неравенство .
Построим интервалы на числовой оси:
Вывод: при функция имеет минимумы, при — максимум.
4) Найти значение функции в точках минимума (максимума).
Максимум функции : , минимумы:.
Можно убедиться в правильности полученных результатов взглянув на график этой функции:
Используемая литература:
1) Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1.