Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Численные методы. > Вычисление приближенных значений корней системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

Вычисление приближенных значений корней системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

Вперед

Задача:

Найти решение системы 4 линейных уравнений с 4-мя неизвестными с точностью до следующими методами:

А) методом Гаусса;
Б) методом простой итерации;
В) методом Зейделя.
Решение:


Замечание: Все вычисления проводятся в Excel.

а) метод Гаусса

Выпишем расширенную матрицу системы


Поделим элементы первой строки на первый элемент 0,17


1 4,411765 -1,058824 1,235294 0,647059
0,750000 0,130000 0,110000 1 2
-0,330000 0,110000 3,010000 -2,010000 0,110000
0,110000 1,120000 1,110000 -1,310000 0,130000






Вычтем из элементов второй, третьей и четвертой строки элементы первой, умноженные соответственно на 0.75, -0,33, 0,11

1 4,411765 -1,058824 1,235294 0,647059
0 -3,17882 0,904118 0,073529 1,514706
0 1,565882 2,660588 -1,60235 0,323529
0 0,634706 1,226471 -1,44588 0,058824

Поделим элементы второй строки на -3,17882


1 4,411765 -1,058824 1,235294 0,647059
0 1 -0,284419 -0,023131 -0,476499
0 1,565882 2,660588 -1,602353 0,323529
0 0,634706 1,226471 -1,445882 0,058824

Вычтем из элементов третьей и четвертой строки элементы второй, умноженные соответственно на 1,565882 и 0,634706.


1 4,411765 -1,058824 1,235294 0,647059
0 1 -0,284419 -0,023131 -0,476499
0 0 3,105955 -1,566132 1,069671
0 0 1,406993 -1,431201 0,361260

Поделим элементы третьей строки на 3,105955


1 4,411765 -1,058824 1,235294 0,647059
00 1 -0,284419 -0,023131 -0,476499
0 0 1 -0,504235 0,344393
0 0 1,406993 -1,431201 0,361260

Вычтем из элементов четвертой строки элементы третьей, умноженной на 1,406993


1 4,411765 -1,058824 1,235294 0,647059
0 1 -0,284419 -0,023131 -0,476499
0 0 1 -0,504235 0,344393
0 0 0 -0,721745 -0,123299

Поделим элементы четвертой на -0,721745


1 4,411765 -1,058824 1,235294 0,647059
0 1 -0,284419 -0,023131 -0,476499
0 0 1 -0,504235 0,344393
0 0 0 1 0,170835

Закончили прямой ход, выполним обратный.

Отнимем от элементов третьей строки элементы четвертой, умноженной на -0,504235


1,000000 4,411765 -1,058824 1,235294 0,647059
0,000000 1,000000 -0,284419 -0,023131 -0,476499
0,000000 0,000000 1,000000 0,000000 0,430534
0,000000 0,000000 0,000000 1,000000 0,170835

Вычтем из элементов второй строки элементы третьей и четвертой, умноженные соответственно но -0,284429 и -0,023131.


1,000000 4,411765 -1,058824 1,235294 0,647059
0 1 0 0 -0,35009519
0,000000 0,000000 1,000000 0,000000 0,430534
0,000000 0,000000 0,000000 1,000000 0,170835

 


1 0 0 0 2,436425383
0 1 0 0 -0,35009519
0 0 1 0 0,430534325
0 0 0 1 0,170834562

Округляем с требуемой точностью и получаем ответ


Ответ:


Понравилась статья?


Вперед

Отзывов (1) на “Вычисление приближенных значений корней системы линейных уравнений. Метод Гаусса.”