1) При

Предположим, что необходимо добавить контрольную точку, соответствующую узлу .
Это значение принадлежит интервалу .

Вычислим набор контрольных точек: .

Используем формулы:

При этом определяются по формулам:

, где — индекс нижней границы интервала, содержащего , — степень многочленов.

Начнем:

Теперь с точками:

Итого, задача сводится к данным:

Контрольные точки

Узловой вектор:

Дальнейший алгоритм полностью аналогичен рассмотренному выше.

Показать вычисление базисных функций

Распишем функцию:

Определим базисные функции. В соответствии с таблицей:

Замечание: Далее «крышечку» писать не будем для облегчения визуального восприятия.
Первая строка









Итого, первая строка базисных функций для новых В-сплайнов:

По треугольной таблице для базисной функции, т.к. является комбинацией и , а они оба равны нулю, то и .

Аналогично с , .

Пошли дальше:

Следующий

И еще парочка

Остальные уже обсудили, они равны нулю.

Итого, по второй строке треугольной таблицы:

По треугольной таблице для базисной функции, т.к. является комбинацией и , а они оба равны нулю, то и .
Аналогично с .
Вычислим остальные из третьей строки:

Следующий

И еще один

И предпоследний в этой строке:

Итого, по строке

Последняя строка, самые нам нужные базисные функции, чтобы построить сплайны.

Далее

Итого, искомые базисные функции имеют вид:

Приступим к построению.
Контрольные точки:

Распишем функцию:

Замечание: На графике видно, что один из отрезков контрольного многоугольника касается. Наша цель, чтобы одна из контрольных точек принадлежала кривой. Для этого в вектор нужно вставить еще одну единицу. Пересчет уравнений кривых делать не будем, вычислим только координат новых точек.