Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Обыкновенные дифференциальные уравнения. > Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным.

      Назад Оглавление Вперед

Уравнение вида
(1)
можно свести к однородному типу.
Общий вид преобразований.
Для того, чтобы привести уравнение (1) к однородному типу дифференциальных уравнений надо составить систему вида:



Первый случай.
Эта система имеет решение.
Пусть решение этой системы :
.
Тогда, для приведения уравнения (1) к однородному типу необходимо сделать подстановку вида

Пример 1:
Найти общий интеграл уравнения

Решение:
Составим систему

Попробуем решить эту систему:

Сделаем замену:


Раскроем скобки и приведем подобные. Помним, что

Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение однородного типа. Решим его.
Замена

Поделим обе части уравнения на .

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Проинтегрируем обе части уравнения

Сделаем обратные замены:

И еще одну:

Преобразуем полученное выражение для красоты. Т.е. сделаем дроби максимум двухэтажными.

Ответ:



Второй случай.
Напомним. Уравнение

Приводим к однородному типу, составили систему
,
а решений эта система не имеет.
В этом случае следует сделать замену . Нечто подобное делалось в разделе «Уравнения, сводящиеся к уравнению с разделяющимися переменными».
Пример 2:
Найти общий интеграл уравнения:

Решение:
Составим систему

Попробуем решить эту систему:

В ходе решения получили, что второе уравнение системы не является верным равенством ни при каких значениях переменной, значит, и вся система не имеет решения.
Делаем замену:

Замечание: В уравнении должны остаться только , как функция, зависящая от , и сам .


Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Замечание: В этом подслучае не переходим к уравнению однородного типа, а сразу к типу «уравнение с разделяющимися переменными».

Проинтегрируем обе части уравнения.

Сделаем обратную замену: .

Ответ: .


Понравилась статья?


      Назад Оглавление Вперед

Оставить комментарий

Вы должны Войти чтобы оставить комментарий.