Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Обыкновенные дифференциальные уравнения. > Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.1.

Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.1.

      Назад Оглавление Вперед

Итак, как решать однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами мы разобрались в предыдущей статье. Разберем случай, когда правая часть ненулевая, а некоего специального вида.
Рассмотрим уравнение вида:
.
Тогда решение этого уравнения будет состоять из двух частей: , где — общее решение однородного уравнения , а — частное решение неоднородного уравнения.






Случай 1.

Пусть правая часть имеет , где — многочлен степени n, тогда общий вид частного решения неоднородного уравнения имеет вид: , где — общий вид многочлена степени n с неопределенными коэффициентами, s равно кратности корня характеристического уравнения , т.е., если такого корня нет, то .
Коэффициенты многочлена определяются по методу неопределенных коэффициентов после подстановки в исходное уравнение.

Пример 1.

Найдем , общее решение уравнения при помощи характеристического уравнения.

Тогда
Найдем по виду правой части.
Правая часть имеет вид: .
Здесь — многочлен первой степени, , таких корней характеристического уравнения нет, т.е. .
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид :
Найдем производные этой функции первого и второго порядка и поставим в исходное уравнение.

Подставим в уравнение:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях х в разных частях равенства (метод неопределенных коэффициентов:

И частное решение имеет вид:

Составим ответ:
Ответ:





Пример 2.

Найдем , общее решение уравнения при помощи характеристического уравнения.

Получили действительный корень кратности 2.
Тогда
Найдем по виду правой части.
Правая часть имеет вид: .
Здесь — многочлен нулевой степени, , таких корней характеристического уравнения аж целых два, т.е. .
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид :
Найдем производные этой функции первого и второго порядка и поставим в исходное уравнение.

Подставим в уравнение:

И частное решение имеет вид:

Составим ответ:
Ответ:
О том, как составлять частное решение для уравнений с тригонометрической правой частью специального вида читайте далее…

      Назад Оглавление Вперед