Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений заключается в следующем:
Дано: Решить систему уравнений методом Гаусса:
Запишем расширенную матрицу системы:
И линейными алгебраическими преобразованиями приводим эту матрицу сначала к верхнетреугольному виду (прямой путь):
Потом к диагональному виду (обратный путь):
И к такому виду, чтобы в правой части этой матрицы стояла единичная:
Тогда решением системы будет:
Замечание: этот метод можно применять к системам любой размерности.
Пример:
Решить методом Гаусса систему уравнений:
(Д.К. Фаддеев, И.С. Соминский, Задачи по высшей алгебре, № 400, а )
Решение:
Составим расширенную матрицу системы
От элементов третьей строки отнимем элементы второй строки (III +II(-1) )
Умножим элементы первой строки на -3, а второй на 2 ( -3*I; 2*II )
Прибавим к элементам второй строки элементы первой ( II+I )
Поделим третьей строки на -6 ( III:(-6) )
Поменяем для удобства вторую и третью строки местами
Прибавим к третьей строке элементы второй, умноженные на -11 (III+II(-11) )
Матрица коэффициентов приведена к верхнетреугольному виду, т.е. прямой ход закончен.
Сделаем обратный ход, теперь пойдем не «сверху вниз», а «снизу вверх»
Все, обратный ход также закончен, в левой части матрицы стоит единичная, запишем ответ:
Или просто:
Ответ: