Уравнение вида
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image002.gif)
можно свести к однородному типу.
Общий вид преобразований.
Для того, чтобы привести уравнение (1) к однородному типу дифференциальных уравнений надо составить систему вида:
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image004.gif)
Первый случай.
Эта система имеет решение.
Пусть решение этой системы :
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image006.gif)
Тогда, для приведения уравнения (1) к однородному типу необходимо сделать подстановку вида
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image008.gif)
Пример 1:
Найти общий интеграл уравнения
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image010.gif)
Решение:
Составим систему
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image012.gif)
Попробуем решить эту систему:
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image014.gif)
Сделаем замену:
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image016.gif)
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image018.gif)
Раскроем скобки и приведем подобные. Помним, что
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image020.gif)
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image022.gif)
Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение однородного типа. Решим его.
Замена
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image024.gif)
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image026.gif)
Поделим обе части уравнения на
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image028.gif)
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image030.gif)
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image032.gif)
Проинтегрируем обе части уравнения
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image034.gif)
Сделаем обратные замены:
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image036.gif)
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image038.gif)
И еще одну:
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image040.gif)
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image042.gif)
Преобразуем полученное выражение для красоты. Т.е. сделаем дроби максимум двухэтажными.
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image044.gif)
Ответ:
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image046.gif)
Второй случай.
Напомним. Уравнение
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image002.gif)
Приводим к однородному типу, составили систему
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image004.gif)
а решений эта система не имеет.
В этом случае следует сделать замену
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image048.gif)
Пример 2:
Найти общий интеграл уравнения:
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image050.gif)
Решение:
Составим систему
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image052.gif)
Попробуем решить эту систему:
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image054.gif)
В ходе решения получили, что второе уравнение системы не является верным равенством ни при каких значениях переменной, значит, и вся система не имеет решения.
Делаем замену:
![](http://kontromat.ru/Od_Ur2/image056.gif)
Замечание: В уравнении должны остаться только , как функция, зависящая от
, и сам
.
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Замечание: В этом подслучае не переходим к уравнению однородного типа, а сразу к типу «уравнение с разделяющимися переменными».
Проинтегрируем обе части уравнения.
Сделаем обратную замену: .
Ответ: .