Итак, на предыдущей странице перечислены свойства, которыми обладает скалярное произведение. С помощью них можно доказать и вывести еще одну формулу для вычисления скалярного произведения и формулу для вычисления угла между векторами, координаты которых известны.
Формула для вычисления скалярного произведения векторов через их координаты.
Утверждение (Формула для вычисления скалярного произведения векторов): Для векторов, заданных своими координатами:
и
справедлива формула:
![](/scale/image050.gif)
Произносится: Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Доказательство:
Запишем каждый вектор в виде разложения по базисным векторам:
![](/scale/image052.gif)
Запишем скалярное произведение:
![](/scale/image054.gif)
Используем свойство 7) :
![](/scale/image056.gif)
Используем свойство 6):
![](/scale/image058.gif)
Напомним, что
![](/scale/image060.gif)
![](/scale/image062.gif)
В итоге получим:
![](/scale/image064.gif)
Последний шаг: по третьему свойству, зная, что
![](/scale/image066.gif)
![](/scale/image068.gif)
Замечание:
Для векторов на плоскости (двумерных) справедлива аналогичная формула, т.е. без последнего слагаемого:
![](/scale/image070.gif)
![](/scale/image072.gif)
![](/scale/image074.gif)
Формула для вычисления угла между векторами.
Замечание: Не столько угла, сколько косинуса угла.
Итак, на данный момент, для вычисления скалярного произведения есть:
а) определение:
![](/scale/image010.gif)
б) выведенная чуть ранее формула:
![](/scale/image050.gif)
Выразим косинус угла между векторами из первого равенства:
![](/scale/image076.gif)
Произносится: косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин векторов.
А вычислить скалярное произведение можно про второй формуле. В результате получится вот такая формула (её и следует запомнить и применять для вычисления угла):
![](/scale/image078.gif)
На следующей странице рассмотрим примеры решения задач с использование свойств и полученных формул.