Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Линейная алгебра и аналитическая геометрия > Скалярное произведение векторов. > Примеры решения задач на тему «Скалярное произведение».

Примеры решения задач на тему «Скалярное произведение».

      Назад ОглавлениеВперед

Пример 1. (Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, Л.А.Беклемешева, А.Ю.Петрович, И.А.Чубаров., задача №2.1)
Найти скалярное произведение векторов a и b, если:

1)
Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу

.

Подставим:
Замечание: угол между векторами острый – скалярное произведение положительно.
Ответ:
2)
Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу
.

Подставим:
Замечание: угол между векторами тупой – скалярное произведение отрицательно.
Ответ: -21
3)
Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу
.

Подставим:
Замечание: угол между векторами прямой (вектора перпендикулярны) – скалярное произведение равно нулю. Этот факт применяют в случае, если требуется определить, являются ли вектора взаимоперпендикулярными.
Ответ: 0
4) , a и b сонаправлены.
Решение:
Известны длины векторов и то, что они сонаправлены, т.е. они параллельны или лежат на одной прямой и направлены в одну сторону.

Угол между ними равен нулю. Используем ту же формулу
.

Подставим:
Ответ: 5.
5) , a и b противоположно направлены.
Решение:
Известны длины векторов и то, что они противоположно направлены, т.е. они параллельны или лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.

Угол между ними развернутый, т.е. равен 180 градусов.
Подставим:
Ответ: -6.

Пример 2.
Найти скалярное произведение векторов
и .
Решение:
Здесь векторы a и b заданы как суммы базисных векторов (в ортонормированном базисе), т.е. они имеют координаты и .
Известны их координаты, поэтому для вычисления скалярного произведения применим формулу
(стрелочки над векторами ставить не будем, как и в большинстве задачников, но, вообще говоря, они должны быть).
Подставим:
Ответ: -13.


Пример 3.
Вычислить скалярное произведение , если известно, что и .
Замечание: здесь использовано альтернативное обозначение операции скалярного умножения векторов: .
Решение:
Первый вектор в скалярном произведении: . Найдем его координаты, используя элементы векторной алгебры.


Аналогично со вторым вектором: . Найдем его координаты, используя элементы векторной алгебры.

Далее по формуле:


Ответ: -54,12

Пример 4:
Вычислить скалярное произведение , если известно, что .
Решение:
Здесь неизвестны координаты векторов a и b, поэтому найти координаты векторов и затруднительно.
Используем свойства скалярного произведения (см. Свойства скалярного произведения векторов.):

=

Применим свойство 7)

И свойство 6)


И свойство 3)

И свойство 1)

Ответ:


Пример 5.
Найти угол между векторами и
Решение:
Применим формулу

Подставим

Ответ:
      Назад Оглавление Вперед