Итак, как решать однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами мы разобрались в предыдущей статье. Разберем случай, когда правая часть ненулевая, а некоего специального вида.
Рассмотрим уравнение вида:
.
Тогда решение этого уравнения будет состоять из двух частей: , где
— общее решение однородного уравнения
, а
— частное решение неоднородного уравнения.
Случай 1.
Пусть правая часть имеет , где
— многочлен степени n, тогда общий вид частного решения неоднородного уравнения имеет вид:
, где
— общий вид многочлена степени n с неопределенными коэффициентами, s равно кратности корня характеристического уравнения
, т.е., если такого корня нет, то
.
Коэффициенты многочлена определяются по методу неопределенных коэффициентов после подстановки
в исходное уравнение.
Пример 1.
Найдем , общее решение уравнения
при помощи характеристического уравнения.
Тогда
Найдем по виду правой части.
Правая часть имеет вид: .
Здесь — многочлен первой степени,
, таких корней характеристического уравнения нет, т.е.
.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид :
Найдем производные этой функции первого и второго порядка и поставим в исходное уравнение.
Подставим в уравнение:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях х в разных частях равенства (метод неопределенных коэффициентов:
И частное решение имеет вид:
Составим ответ:
Ответ:
Пример 2.
Найдем , общее решение уравнения
при помощи характеристического уравнения.
Получили действительный корень кратности 2.
Тогда
Найдем по виду правой части.
Правая часть имеет вид: .
Здесь — многочлен нулевой степени,
, таких корней характеристического уравнения аж целых два, т.е.
.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид :
Найдем производные этой функции первого и второго порядка и поставим в исходное уравнение.
Подставим в уравнение:
И частное решение имеет вид:
Составим ответ:
Ответ:
О том, как составлять частное решение для уравнений с тригонометрической правой частью специального вида читайте далее…