Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Метод Фурье для уравнений гиперболического типа. > Пример (колебание струны с закрепленными концами в среде с сопротивлением):

Пример (колебание струны с закрепленными концами в среде с сопротивлением):

      Назад Оглавление

Решить уравнение:
( ), ,
Решение:
Вид уравнения отличается от простейшего вида гиперболического уравнения, рассмотренного выше. Поэтому применим метод Фурье (метод разделения переменных) подробно. Это уравнения представляет собой уравнение свободных колебаний.
Решение будем искать в виде: , подставляем в исходное:


Поделим обе части уравнения на .


Получили два уравнения:

Рассмотрим первое из них:

Решение этого уравнения при граничных условиях рассматривалось в первом параграфе:
, , т.е., при
, .
Рассмотрим второе уравнение:

Известно, что

Получили дифференциальное уравнение, составим его характеристическое уравнение:

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

Вспомним, что решение ищется в виде и подставим сюда полученные выражения для функций:
.
Составляем ряд
, подберем коэффициенты так, чтобы выполнялись начальные условия.

1)
При :

Помним, что ищем коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам. Они определяются по уже известной формуле:




2)
, возьмем производную по .

Здесь можно не находить коэффициенты с помощью интегрирования, т.к. они должны быть равны 0.

Итак, подставляем коэффициент:

При четном множитель обращается в ноль. Т.к. вычисляются решения, не равные тождественно нулю, то в ответ запишем лишь ненулевые слагаемые, т.е. при (нечетном).

Ответ:


Понравилась статья?


      Назад Оглавление

Оставить комментарий

Вы должны Войти чтобы оставить комментарий.