Решить методом разделения переменных смешанную задачу:
, ( ), , .
Решение:
Решение этой задачи ищется в виде суммы
,
где:
1) — решение неоднородного уравнения с граничными условиями и начальными условиями .
2) — решение однородного уравнения с граничными условиями и начальными условиями .
1. Найдем . Для этого необходимо решить уравнение

с граничными условиями

и начальными условиями .
Формулировка задачи полностью совпадает с уравнением гиперболического типа, решенным методом Фурье в первом параграфе этой статьи при . Решением является функция:

с коэффициентами
и
Подставляем известные значения:

с коэффициентами
и
Собственные значения

и собственные функции
.
Получилось, что все коэффициенты равны 0, следовательно,
.
2. Найдем .

Решим уравнения с граничными условиями и начальными условиями .

Решение ищется в виде: .
Подставляем в исходное уравнение.

По общему методу необходимо разложим константу в ряд Фурье по синусам в интервале :


Подставляем это разложение в уравнение:

Отсюда можно составить дифференциальное уравнение:
.
Причем решать это уравнение нужно при нулевых начальных условиях
.
Решать его вручную нет необходимости, потому что в теоретической части указана формула для нахождения решений подобных уравнений:


Замечание: Подробно получение этой формулы не рассматривается, т.к. если при решении конкретной задачи получилось уравнение вида (12), то следует просто применить эту формулу, а если получилось уравнение другого вида, то каждый конкретный случай нужно решать индивидуально.
Получим выражение для .

Замечание: При четном множитель обращается в ноль. Т.к. вычисляются решения, не равные тождественно нулю, то в ответ запишем лишь ненулевые слагаемые, т.е. при (нечетном).

Ответ:
Решение исходной задачи :
.
Замечание: Условие этой задачи взято из задачника Владимирова ( № 20.6 а) ), однако там дан ответ, отличный от приведенного здесь. Это можно объяснить либо какими-то преобразованиями полученного выражения ( хотя у меня не получилось привести виду в задачнике), либо опечаткой в условии. Правильность этого решения доказывает замечательная книга «Уравнения математической физики» под авторством И.Г. Арамановича и В.И. Левина, где в примере разобрана задача, аналогичная данной с точностью до константы.