Задача о нахождении вынужденных колебаний однородной струны , жестко закрепленной на концах, под действием внешней силы с плотностью приводится к решению уравнения.
(8)
при начальных условиях
(9)
и граничных условиях
. (10)
Пояснение: , где — линейная плотность струны.

Решение этой задачи ищется в виде суммы
,
где:
1) — решение неоднородного уравнения с граничными условиями и начальными условиями (решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями).
2) — решение однородного уравнения с граничными условиями и начальными условиями (решение однородного уравнения с условиями (9), (10)).
Пояснение: Как легко запомнить про и ? Очень просто: поставленная задача (8)-(10) имеет две «сложности»: неоднородность в виде слагаемого и ненулевые (в общем случае) начальные условия . Одну из этих сложностей обрабатываем в , а другую – в .

1. Найдем . Для этого необходимо решить уравнение

с граничными условиями

и начальными условиями
.
Формулировка задачи полностью совпадает с уравнением гиперболического типа, решенным методом Фурье в первом параграфе этой статьи. Решением является функция:

с коэффициентами
и
Следует так же заметить, что при решении задачи были найдены собственные значения и собственные функции .
2. Найдем . Для этого нужно решить неоднородное уравнение

с граничными условиями

и начальными условиями
.

Решение ищется в виде: . (11)
Замечание: Используются собственные значения и собственные функции предыдущего уравнения.
Подставляем (11) в исходное уравнение (8).

Разложим функцию в ряд Фурье по синусам в интервале :

Сравниваем два последних равенства :

Отсюда можно составить дифференциальное уравнение:
, где . (12)

Причем решать это уравнение нужно при нулевых начальных условиях
.
В задачнике В.С. Владимирова сказано (и это правда), что решение этого уравнения при таких начальных условиях можно записать в виде:
.
Замечание: Подробно получение этой формулы не рассматривается, т.к. если при решении конкретной задачи получилось уравнение вида (12), то следует просто применить эту формулу, а если получилось уравнение другого вида, то каждый конкретный случай нужно решать индивидуально.
Подставим это в (11) и получим выражение для .
Итог:
Решение исходной задачи (8)-(10) представляется в виде:
, где
,
и 120.