Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Подготовка к ЕГЭ-ГИА (элементарная математика) > Выделение полного квадрата. Формулы корней квадратного уравнения.

Выделение полного квадрата. Формулы корней квадратного уравнения.

Вперед

Оглавление.

1.Выделение полного квадрата. Формулы корней квадратного уравнения.
2.Примеры решения квадратных уравнений.
3.Решение неполных квадратных уравнений.
4.Разложение квадратного трехчлена на сомножители.

Определение:

Уравнение вида

, где

называется квадратным уравнением.

Из любого квадратного трехчлена или многочлена второй степени можно выделить полный квадрат, т.е. преобразовать к виду:

.

Для того, чтобы выделить полный квадрат необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения «квадрат суммы» и «квадрат разности»:

Конечно, следует всегда и везде помнить абсолютно все формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим общий вид квадратного трехчлена:

Глядя на формулу «квадрат суммы», нужно привести к такому виду, что первым слагаемым будет квадрат какого-либо выражения:


[ ]

Второе слагаемое должно быть в виде удвоенного произведения первого выражения (которое в квадрате) на что-либо еще.


[ Обращаем внимание, что ,
т.е. ]

Третье слагаемое должно быть квадратом «остатка» второго слагаемого, его следуем прибавить и, для равновесия, отнять:


Первые три слагаемые можно свернуть по формуле :

Это и есть полный квадрат (переменная стоит только внутри скобки)
Формула:


общий вид выделения полного квадрата из произвольного квадратного трехчлена.

Возвращаемся к решению квадратного уравнения:

Требуется решить квадратное уравнение

Левую часть можно преобразовать и уравнение примет вид:

Перенесем вправо второе и третье слагаемые

Извлечем корень квадратный из обеих частей равенства. Корень извлекается с .

Преобразуем подкоренное выражение:

Перенесем второе слагаемое левой части вправо с противоположным знаком:

Преобразуем правую часть:

Получены формулы для корней квадратного уравнения. Подкоренное выражение называют дискриминантом и обозначается

.

Вывод:

Для решения квадратного уравнения


Можно воспользоваться формулами:

Замечание: Формулы верны также и для неполных квадратных уравнений, т.е. если или .
Примеры решения различных квадратных уравнений даны в следующей главе.


Понравилась статья?


Вперед