Наши Партнеры:

 


Свойства логарифмов.

      Назад Оглавление Вперед

0) Основное логарифмическое тождество:

.

1) Сумма логарифмом равна логарифму произведения:

Замечание: для того, чтобы все слагаемые были определены, необходимо выполнение условии: .
Доказательство:
Из определения логарифма и свойств показательной функции следует, что

Т.к. из равенства следует равенство , то из равенства

следует равенство

.
Свойство доказано.
Замечание: обратное свойство требует ограничений:
, т.к. произведение двух отрицательных чисел положительно, а логарифм от отрицательной величины неопределен.
Пример:

2) Логарифм степени:

Доказательство:
Замечание: Т.к. выражение в левой части равенства определено, то , а значит и , т.е. определена и правая часть равенства.


Т.к. из равенства следует равенство , то из равенства

следует равенство
.

Свойство доказано.
Пример:

3) Разность логарифмом равна логарифму частного:


Замечание: для того, чтобы все слагаемые были определены, необходимо выполнение условии: .
Доказательство:
Можно доказывать это свойство тем же методом, что и предыдущие два, но можно и использовать комбинацию двух уже доказанных свойств.

Свойство доказано.
Замечание: обратное свойство требует ограничений:
, т.к. частное двух отрицательных чисел положительно, а логарифм от отрицательной величины неопределен.
Пример:

4) Формула перехода к новому основанию:


Доказательство:
Замечание: Т.к. выражение в левой части равенства определено, то , значит, числитель и знаменатель правой части будут определены при любом .
Знаменатель этой дроби не равен нулю, т.к. логарифм равен нулю только в том, случае, если его аргумент равен 1 ( ) и известно, что .

Доказывать равенство следует в виде:


Из определения логарифма и свойств показательной функции следует, что

Т.к. из равенства следует равенство , то из равенства

следует равенство .
Свойство доказано.
Пример:

      Назад Оглавление Вперед