Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Математический анализ. > Экстремум функции нескольких переменных. > Случай функции нескольких переменных ()

Случай функции нескольких переменных ()

      Назад Оглавление


Критерий Сильвестра:


Пусть квадратичная форма записана в виде матрицы

Эта форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все его главные миноры положительны.

Форма является отрицательно определенной, если ее главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного:
.

Задача: Исследовать функцию многих переменных на экстремум и вычислить экстремальное значение функции.
Решение:

1) Необходимое условие экстремума.


Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю первых частных производных (все то же самое, что и для случая двух переменных, только уравнений в системе столько же, сколько переменных в функции).
Точки , являющиеся решением системы:

называются стационарными точками функции F.

Достаточное условие экстремума.


Если квадратичная форма
,

( т.е. квадратичная форма, составленная из вторых производных функции, вычисленных в стационарной точке ) положительно определена, то в этой точке функция имеет минимум, если квадратичная форма отрицательно определена, то максимум. Если квадратичная форма является неопределенной (т.е. принимает и отрицательные и положительные значения при одних значениях переменных), то экстремума в этой точке нет.
Для определения знака определенности квадратичной формы удобнее всего применять критерий Сильвестра.
Пример:
Решение задачи № 2018 из сборника: Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов, под ред. Б.П. Демидовича

Найти экстремум функции трех переменных

.

Решение:
1) Необходимое условие экстремума

Точка, подозрительная на экстремум:
2) Достаточное условие экстремума.

Применим критерий Сильвестра



Все миноры положительны, значит, квадратичная форма является положительно определенной и функция имеет в этой точке минимум.

Ответ:

      Назад Оглавление