Оглавление.
1. Экстремум функции двух переменных.
2. Локальный экстремум функции двух переменных.
3. Случай функции нескольких переменных ().
Задача: Исследовать на экстремум функцию двух переменных .
Необходимое условие экстремума.
Как и в случае с функцией одной переменной, где необходимым условием экстремума функции является равенство нулю первой производной. Соответственно, в случае функции нескольких переменных, требуется равенство нулю частных производных по обеим переменных.
Точка
![](imag/vi/image004.png)
![](imag/vi/image006.png)
называется стационарной точкой функции
![](imag/vi/image002.png)
Стационарные точки — это точки, подозрительные на экстремум.
Другими словами, в этих точках функция может достигать экстремума, а может и не достигать.
Достаточное условие экстремума.
Для того, чтобы определить, достигает ли функция
![](imag/vi/image002.png)
![](imag/vi/image004.png)
![](imag/vi/image008.png)
Тогда, если:
•
![](imag/vi/image010.png)
![](imag/vi/image004.png)
![](imag/vi/image002.png)
•
![](imag/vi/image012.png)
![](imag/vi/image004.png)
![](imag/vi/image002.png)
•
![](imag/vi/image014.png)
![](imag/vi/image004.png)
![](imag/vi/image002.png)
•
![](imag/vi/image016.png)
![](imag/vi/image004.png)
Пример:
Задача № 2016 из сборника: Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов, под ред. Б.П. Демидовича
Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных
![](imag/vi/image018.png)
Решение:
Найдем точку, подозрительную на экстремум
![](imag/vi/image020.png)
Точка, подозрительная на экстремум
![](imag/vi/image022.png)
Найдем вторые производные
![](imag/vi/image024.png)
При
![](imag/vi/image026.png)
![](imag/vi/image028.png)
Попался случай
![](imag/vi/image010.png)
![](imag/vi/image018.png)
![](imag/vi/image030.png)
Ответ:
![](imag/vi/image030.png)