Что такое экстремум понятно, это собирательный термин для минимума и максимума, а условным он называется тогда, когда переменные связаны некоторым условием, дополнительным уравнением связи.
Например:
Найти условный экстремум функции , причем должно выполняться
( Демидович для ВТУЗов, задача № 2023)
Решение:
Для того, чтобы найти условный экстремум функции при условии
составим функцию Лагранжа вида:
, где
— неопределенный множитель. После чего ищем обычный экстремум это вспомогательной.
Функция Лагранжа для рассматриваемого предела имеет вид:
![](imag/uex/image014.png)
1) Необходимые условия:
![](imag/uex/image016.png)
Определили точку, подозрительную на экстремум.
2) Достаточные условия.
Для того, чтобы понять, существует ли в этой точке экстремум и какой именно, надо исследовать знак второго дифференциала функции, т.е.
![](imag/uex/image018.png)
Если он положителен, то это минимум, отрицателен – максимум.
Знак определяется при значениях
![](imag/uex/image020.png)
![](imag/uex/image022.png)
![](imag/uex/image024.png)
Для решаемой задачи:
![](imag/uex/image026.png)
Здесь он положителен, значит, при
![](imag/uex/image028.png)
![](imag/uex/image030.png)
![](imag/uex/image032.png)
Замечание: В этом примере второй дифференциал явно положителен, мы даже не использовали дифференциал условия. Предположим, что мы получили ( при той же критической точке и условии
![](imag/uex/image008.png)
![](imag/uex/image035.png)
Здесь, согласитесь, не очевиден знак второго дифференциала, поэтому будем использовать условие:
![](imag/uex/image037.png)
Подставим во второй дифференциал:
![](imag/uex/image039.png)
И знак становится очевиден.